26.3 实践与探索（3）(湖北省宜昌市)

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26.3 实践与探索（3）
[本课知识要点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[创新思维]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为
　　　
观察图象与x轴的交点个数，分别是_____个、_____个、_____个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．
解 （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是__________，
不等式的解集是__________，
不等式的解集是__________．
2．抛物线与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为__________．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为__________．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
B组
6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有　　　　 （ ）
A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．1个或2个
7．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
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