河北省保定市2023-2024学年高二上学期期末调研数学试题（含答案）

保定市2023－2024学年度第一学期期末调研考试高二数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它标号，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于xoy平面的对称点坐标为（ ）
A．（1，2，－3） B．（－1，2，－3） C．（－1，－2，3） D．（－1，－2，－3）
2．已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以Fx为始边、FP为终边的角，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知数列满足的前项和为，则（ ）
A．12 B．6 C．3 D．2
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在公比不为1的等比数列中，的前项积为，则，．．．20）中不同的数值有（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
8．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（ ）
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点轨迹为椭圆
B．若，则点轨迹为双曲线
C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的
D．若，则点轨迹为圆
11．正方体中，P，Q，R分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．P，Q，R，C四点共面 B．平面PQR
C．平面PQR D．和平面PQR所成角的正弦值为
12．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（ ）
A．0 B．－1 C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．等差数列中，，则______．
14．若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为______．
15．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程可写为．已知直线的方向向量为，平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为______．
16．过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上且．
（1）以为基底，表示；
（2），，求．
18．（12分）
已知数列的首项是3，且满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）
已知点在圆上运动，，点为线段MN中点．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知，求的最大值．
20．（12分）
如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为分别为PB，PD的中点．
（1）求证：
（2）连结BF，DE相交于点，求平面与平面夹角的正弦值．
21．（12分）
已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，定义［x]为不超过的最大整数，例如，求数列的前项和．
（说明：）
22．（12分）
椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线．
保定市2023－2024第一学期高二期末调研数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B B A B B C
二、选择题
9 10 11 12
BD ACD BC AB
三、填空
13．0　14．　15．　16．
三、解答题
17．解：（1）
（2）由（1）得
18．（1）证明：因为，．
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
19．（1）解：设点因为为中点，
，于是有，
因为点在圆上运动，所以
代入得，化简得．
（2）
因为，所以
所以的最大值为89．
20．（1）证明：在正四棱锥中，连接交于点，连接．
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
在中则，
，，所以．所以．
（2）解：在分别为的中点，点为的交点，
所以为的重心，则，
设平面的法向量为则
即，令则，
设平面的法向量为，则可得
设平面与平面夹角为，
则，即，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
21．（1）解：为等差数列，设公差为，由已知
可得知
解得，．
（2）解：
又因为数列的前项和为，
所以
．
所以．又因为表示的前项和，
所以时，时，；
时，
所以
22．（1）解：由题意得即
解得所以椭圆
（2）证明：由题意可得直线的斜率存在，设斜率为
则直线，联立，
消去得，化简得
，则，
因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，所以
则直线为，又因为过点向轴引垂线交于点，
所以点满足解得，
点为点关于点的对称点，所以，
所以
，
所以三点共线．