1．B
【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间的距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，
故选：B
2．B
【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解即可.
【详解】，，.
故选：B.
3．A
【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率.
【详解】由，，可得,
又由，可得，则，
整理得，即，
解之得或（舍）
故选：A
4．C
【分析】根据向量共线即可得是平面的一个法向量求解.
【详解】由， ，可得，所以，故是平面的一个法向量，故直线与平面垂直，
故选：C
5．C
【分析】根据椭圆的定义得，然后利用相应的条件进行充分性必要性的求解.
【详解】因为，所以，
又，所以的周长为．
若，则．
若，则．
所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.
故选：C.
6．A
【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.
【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，
所以共有种不同的挂法.
故选：A
7．A
【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案.
【详解】
故，，，.
故选：A
8．B
【分析】根据已知结合双曲线的定义可得，，，进而根据同角三角函数的基本关系式得出.在中，由余弦定理可得出方程，整理化简即可得出的关系式.
【详解】
如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.
由已知结合双曲线的定义可得，
所以，，，，且为锐角.
又，，
所以，.
又，
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
所以，.
故选：B.
9．BC
【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程.
【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得，
因为为直角三角形，则为直角三角形，则，
即，解得，则圆的半径为，
圆心为，因此，圆的方程为或，
故选：BC.
10．AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．ABC
【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项B，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项A，又，，可判断选项C和选项D．
【详解】在正方体中，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，
∴，，，，∴，
设，则，
∵，∴，即
当时，，当时，，
取，，，，
连结EF，FG，，HE，
则，，
所以，
∴四边形EFGH为矩形，则，，
即，，
又和为平面内的两条相交直线，
∴平面EFGH，
又，，
∴M为EG的中点，则平面EFGH，
为使，必有点平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱的中点，故选项A错误；
又，，
∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，
故选项C错误，选项D正确；
∵，，
又，则，即，
∴，点在正方体表面运动，
则，解，
故当或，或1，MP最大值为，故B错误.
故选：ABC．
12．ABD
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，
，故A项正确；
对于B项： ，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；
对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知，得，又因为，得，
所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项： ，
，
当且仅当时取等号，故D项正确.
故选：ABD.
13．
【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，
则直线过抛物线的焦点F，
当时，联立与可得，
所以，则；
当时，如图，
过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，
则，得，
则，同理可得，所以，
化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．/
【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据条件赋值后，计算即可.
【详解】根据二项式展开式的通项公式得：
，
令，
则.
故答案为：.
15．或
【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示，
设棱长为1，,
则，
，
设平面，平面的一个法向量分别为，
所以，，即，，
分别令，则，
故，
设二面角的平面角为，
由，则，
故由，
解得或.
16．/
【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和；再利用几何意义求解得出答案.
【详解】
设点的坐标为
则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为
令，即
则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.
因为点在曲线上.
所以当直线与曲线相切时有最值.
因为曲线是以圆心，为半径的圆.
则，解得或
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.
故答案为：
17．(1).
(2).
【分析】（1）根据二项式定理的通项公式即可解题.
（2）令通项公式中的指数为2即可解题.
【详解】（1）根据二项式定理写出的通项公式为：
……①
二项式展开的第6项……②
②代入①有第6项为：……③
第6项为常数，且由③式可得：……④
因为展开式共有项，故二项式系数最大项为第项，此时的，
展开式第的二项式系数为，
故答案为：.
（2）由第1小问可知，且通项公式为：……⑤
只需要令⑤式中的指数为2……⑥
含的项的系数，
故答案为：.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的大小；
（3）求出平面的法向量，利用向量法求出点D到平面的距离．
【详解】（1）以D为原点，为x轴，为y轴，
过D作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，所以.
（2）因为平面的法向量，
又，
设平面的法向量，
则，取，
设平面与平面夹角的大小为，
，所以，
所以平面与平面夹角的大小为；
（3），
由（2）知平面的法向量，
所以点D到平面的距离．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线AB的方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为，短轴为4，
可得，，
则椭圆C：；
（2）依题意，
解得，
因为，可得，
且，
因为，
解得，
所以直线AB的方程为l：．
20．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）先通过线线垂直证明平面，得出，再证明平面，最后由线面垂直推得面面垂直；
（2）利用题设条件建系，设出边长表示出相关点坐标，分别计算两平面的法向量，最后运用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
如图，连接,取中点,连接,因底面ABCD为菱形，故,又E为棱AB的中点，故，则，
已知平面 ，故平面，因平面，则，因，则
又平面则平面，又平面，故平面平面
（2）
如图，连，由（1）知平面，且∠BAD=60°，则是正三角形，,
故可以分别为轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设,则
于是,设平面D的法向量为，则有可取.
因，故可取平面的法向量为.
设二面角的平面角为，则为锐角，故则
即二面角的正弦值为.
21．(1)分布列见解析，
(2)4
【分析】（1）由题意可得可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解；
（2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得，，，由，解出即可求解.
【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.
,
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）每一轮获得纪念章的概率为，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10轮答题获得纪念章的数量为，则，
，.
由，得，
解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.
22．(1)
(2)有，-9.
【分析】(1)首先分析题意利用双曲线方程性质，进行求解.
(2)首先设出方程，进行方程联立求出，解出最后证明定值即可.
【详解】（1）若实轴长为2，则，易知渐近线方程为，，解得，可得双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为
其与的交点为
联立得
所以
因为所以
即
所以
所以2023-2024 学年秋期桐柏县期末质量检测
高二数学
注意事项：
1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴
在答题卡指定位置上
2、回答选择题时，选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改
动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
一、单选题（每题 5 分 共 40 分）
1．若两平行直线 x 2y m 0 m 0 与 x ny 3 0之间的距离是 5，则m n （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 10
2．已知随机变量 X 2服从正态分布N , ，若 P X 4 P X 2 ，则 （ ）
A． 1 B．1 C． 2 D． 2
x23 y
2
．已知 O为坐标原点，F1， F2是椭圆 C： 1（a b 0）的焦点，过右焦点 F2且a2 b2
垂直于 x轴的直线交 C于 A，B两点，若 AOB 90 ，则 C的离心率为（ ）
A 5 1 B 3 1． ． C 3 1 2 1． D．
2 2 2 2
4．已知空间中直线 l的一个方向向量 a 1, 2, 4 ，平面 的一个法向量 n 2, 4,8 ，则（ ）
A．直线 l与平面 平行 B．直线 l在平面 内
C．直线 l与平面 垂直 D．直线 l与平面 不相交
x2 y25．已知椭圆C : 1(m 1) 的焦点为 F1,F2，P为C上一点，且点 P不在直线 F1F2 上，m 3 m 1
则“m 6 ”是“△PF1F2 的周长大于12 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了
丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将 4 盏相同的
宫灯、3 盏不同的纱灯、2 盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多 2 盏
相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．216 B．228 C．384 D．486
7．如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D
1
1中，点M 在BB1上，点N在DD1上，且 BM BB1，2
第 1 页 共 4 页
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1 D1N D1D，若MN xAB yAD zAA1，则 x y z （ ）3
1 1 2 3
A． B． C． D．
6 3 3 2
2 2
8．已知 F x y1,F2 分别为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，过 F2且与双曲线的一条渐近线a b
平行的直线交双曲线于点 P，若 PF1 4 PF2 ，则双曲线的离心率为 （ ）
A 7 B 21． ． C． 3 D．
3 21
二、多选题（每题 5 分 共 20 分）
9．已知圆C经过点 A 0,0 、 B 2,0 ， ABC为直角三角形，则圆C的方程为（ ）
A 2． x 1 y 1 2 4 B x 1 2 y 1 2． 2
C 2 2． x 1 y 1 2 D x 1 2． y 2 2 5
10．已知向量 a m,n, 2 ，b 2, 2,1 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 a b，则m 4,n 4 B a ．若 b，则m 4,n 4
C．若 a b，则m n 1 0 D ．若a b，则 n m 1 0
11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ,N分别为 BD1,B1C1的中点，点 P在正
方体的表面上运动，且满足MP CN .下列说法中错误的是（ ）
A 5．点 P可以是棱BB1的中点 B．线段MP长度的最大值为 2
C．点 P的轨迹是正方形 D．点 P的轨迹长度为 2 5
12 x
2 y2
．已知椭圆C： 2 1 b 0 的左右焦点分别为F1、F2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q4 b
在椭圆上，椭圆C的离心率为 e，则以下说法正确的是（ ）
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A．离心率 e的取值范围为 (0, 2 ) B 2 6．当 e 时，QF1 QP 的最大值为 4
2 4 2
1 1
C．存在点Q，使得QF1 QF2 0 D． QF QF 的最小值为11 2
三、填空题（每题 5 分 共 20 分）
13．已知抛物线M : x2 8y，直线 l : y kx 2与抛物线交于 A,D两点，与圆 N : x2 y2 4y 3 0
交于 B,C两点 (A,B在第一象限 )，则 AC 4 BD 的最小值为 .
8
x 2
14．在 的二项展开式中， x
2的系数为 ．
2 x
15．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，设B1P B1C 0 1 ，若二面角B A1P B1的平面角的
33
正弦值为 ，则实数 的值为 ．
6
2
16．已知直线 l 21 : y 2 0和直线 l2 : x 1 0，则曲线 x 1 y 1上一动点 P到直线 l1和直线
l2的距离之和的最小值是 ．
四、解答题（共 70 分）
1
n
（10 分）17．已知在 3 x 的展开式中，第 6 项为常数项．
23 x
(1)求 n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
(2)求含 x2的项的系数.
（12分）18．如图，边长为 2的等边 PCD所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC 2 2，
M为 BC的中点．
(1)证明： AM PM ；
(2)求平面 PAM 与平面DAM 的夹角的大小；
(3)求点 D到平面 AMP的距离．
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x2 y2
（12 分）19．已知椭圆 C： b 02 2 1（ a 0， ）的长轴为 4 3，短轴为 4．a b
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)设直线 l： y x m与椭圆 C交于不同两点 A、B，且 AB 3 2，求直线 AB的方程．
（12 分）20．如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为菱形，E为棱 AB的中点，AC⊥PE，
PA=PD.
(1)证明：平面 PAD⊥平面 ABCD；
(2)若 PA=AD，∠BAD=60°，求二面角E PD A的正弦值.
（12 分）21．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每
轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方
3
可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为 ，第二组每
4
1
道题答对的概率均为 2 ，两组题至少答对
3 题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为 X ，请写出 X 的分布列，并求 E X ；
(2)若甲同学进行了 10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
2 2
（12 分）22
x y
．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的实轴长为 2，且其渐近线方程为 y 3x．a b
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点 P( 2,0)且斜率不为 0 的直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于点A，B，点Q在线段
| PA | | AQ |
AB上，且 | PB | |QB | ，T 为线段 AB的中点，记直线
OT ，OQ（O为坐标原点）的斜率分别
为 k1， k2，求 k1 k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
第 4 页 共 4 页
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