二次函数(湖北省宜昌市)

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26．1 二次函数
　　[本课知识要点]
　　通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
　　[创新思维]
　　（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？
　　s = a2
　　（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
　　y = (4+x)(3+x) 4×3 = x2+7x
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
　　二次函数的概念：形如ax2+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．
　　[实践与探索]
　　例题：
　　补充例题：
　　1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
　　分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：．
　　解 若函数是二次函数，则
　　 ．
　　解得 ，且．
　　因此，当，且时，函数是二次函数．
　　回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
　　探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
　　2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
　　（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
　　（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
　　（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
　　（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
　　解 （1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数；
　　（2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数；
　　（3）由题意，得 （x≥0且是正整数），
　　其中y是x的一次函数；
　　（4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数．
　　3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
　　(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
　　(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
　　解 （1）；
　　 （2）当x = 3cm时，（cm2）．
　　[当堂课内练习]
　　1．下列函数中，哪些是二次函数？
　　（1） （2）
　　（3） （4）
　　2．当k为何值时，函数为二次函数？
　　3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
　　(1)请写出y与x的函数关系式；
　　(2)判断y是否为x的二次函数．
　　[本课课外作业]
A组
　　1． 已知函数是二次函数，求m的值．
　　2． 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
　　3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
　　4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
B组
　　5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）
　　A． B． C． D．
　　6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是 （ ）
　　A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
　　B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
　　C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
　　圆的周长与圆的半径之间的关系
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