1.1.1空间向量及其线性运算(第1课时) 课件（共19张PPT）

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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
新课导入
在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？
新知探究
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
一、空间向量的有关概念
平面向量的概念 空间向量的概念
平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|.
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|.
新知探究
问题2 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
平面向量的表示法 空间向量的表示法
(1)有向线段
A (起点)
B
(终点)
a
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y)
(1)有向线段
(2)字母 a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y，z)
新知探究
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
空间向量的相关概念
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意；
模为 1 的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b；
模相同，方向相反的两个向量，记作 a＝－b ；
新知探究
问题3 在学习平面向量时，我们还学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
平面向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a // b；
空间向量的相关概念
规定:零向量和任意向量共线.
共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a // b；
规定:零向量和任意向量共线.
新知探究
平面向量的线性运算
①加法： ②减法： ③数乘： 问题4 平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？
三角形和平行四边形法则
新知探究
二、空间向量的线性运算和运算律
追问1 空间向量的线性运算如何进行？
b
a
.
O
α
空间向量的线性运算
转化
平面向量的线性运算
新知探究
二、空间向量的线性运算和运算律
平面向量的运算律 空间向量的运算律
①交换律：
②结合律：
③分配律：
①交换律：
②结合律：
③分配律：
a + b＝b + a；
a + (b + c)＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
a + b＝b + a；
a + (b + c)＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
问题5 空间向量线性运算律的证明和平面向量有哪些异同，如何证明空间向量的加法结合律？
新知探究
探究1：如图1.1-6, 在平行六面体 中, 分别标出 表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗 一般地, 三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系
平行六面体法则：共起点，连对角
新知探究
探究2：对任意两个空间向量 如果 有什么位置关系？反过来， 有什么位置关系时，
平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件
对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb .
追问(1) 你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？
对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb .
新知探究
如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ ，使得 = λa.
也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
新知探究
追问(2) 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？
a
b
.
O
α
c
p
任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.
如何判断三个向量是否共面呢？
新知探究
追问(3) 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？
a
b
.
O
α
p
p＝xa +yb
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得：
p＝xa +yb.
a
b
.
O
α
p
若 p在α内，则有 p＝xa +yb；
若 p＝xa +yb，则 p在α内.
p
新知探究
平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件
若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb.
a
b
.
O
α
p
两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a ，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： p＝xa +yb.
A
B
C
新知探究
三、共面向量定理及其推论
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
A
C
B
P
典例剖析
例1 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面.
典例剖析
证明:
·
追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？你能得到什么结论？
课堂小结
问题6 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？