理科数学试题及答案
一、选择题（每小题5分，共12个小题，满分60分.每个小题有且只有一个正确选项，请把正确选项代号填涂到答题卡相应位置上.）
1.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．0
解：抛物线可化为，焦点为，准线方程,
点的纵坐标为,由抛物线定义知：，解得：. 选B
2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：，，其对应的点为，在第三象限. 选C
3.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：，
，故“”是“”的充分而不必要条件. 选A
4.的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
解：的展开式中含项为：展开式中项展开式中项
， 选D
5.已知，为钝角，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
解：
. 选B
6.已知不重合的两条直线，平面，且，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确的命题是（ ）.
A．①④ B．③④ C．①② D．①③
答案：利用周围的模型为载体，注意平移或旋转. 选A
7.已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为( )
A． B．
C． D．
解：关于选项A：图像中的函数的定义域的取值可以为负，排除A；
关于选项B：，与图像不一致，排除选项B；
关于选项D:为偶函数，其图像关于轴对称，与图像不一致，排除D. 选C
8.在中，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
解：由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，
∴===，
∴= =
=3+×2×cos120°=1． 注意，坐标化解也可以的. 选C
9.已知函数（为常数，）的部分图像
如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，
则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意得，所以，故，
因为，，所以，，即 .
又因为，解得. 即.
将的图像向左平移个单位长度，得到函数. 选A
10．刍甍（chú méng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》
中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也”
翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面
意思为茅草屋顶．”已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部
分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
解：根据三视图还原该几何体如图所示，
则，，，
为等腰三角形，由主视图可知边的高为，
，由此可求得梯形的高为，
，，，
该几何体的表面积为. 选D
11．双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，设，直线与⊙相切于点，过点作轴于点.
. 在中，
又，
在焦中，
由余弦定理得，，
，
. 选A
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
解：设，则 故在上单调递减，
因为，所以，所以，则，即.
设，则在上单调递增，因为，所以，即，
所以. 选D
二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填涂到答题卡相应位置上)
13.已知集合，，若，则 .
解：或.
检验元素的互异性知，或. 答案或
14．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有 种 数字回答．
解：， 答案
15.函数的图像与直线的交点个数为 . 答案1
解一：（基于一般函数式的代换化简.）
令，则函数在区间上单调，
曲线与直线的交点个数等于曲线与直线的交点个数
作图易知，曲线和直线都过点，且关于点对称，
曲线与直线的交点个数或者为或者为.
问题转化为：关于的方程在区间上的解的个数
令，对恒成立
函数在区间上单增，
关于的方程在区间上的解的个数为
函数的图像与直线的交点个数为.
解二：（基于三角函数的代换化简，关键是）
令，则， 函数在实数集上单调
曲线与直线的交点个数等于曲线与直线的交点个数
也等于曲线与直线的交点个数
曲线与直线相切于原点，曲线与直线的公共点个数为.
小结：函数主要考查其图像和性质，在具体解题时，用的性质越恰当解法就会简单些.
16.如图，在平面四边形中，，
.则 ，的长为 .
解：在中，由余弦定理可得，
由正弦定理：，
在中， 答案；.
三、必作解答题（解答须写出必要的文字说明、推理步骤和演算过程，第17题-第21题，每小题满分12分，共60分.）
17．设为数列的前项和，且满足：.
（1）设，证明是等比数列； （2）求.
解：（1）因为，，则，
两式相减得：，整理可得，即，
于是，， 所以数列是等比数列.………………………6分
（2）由（1）知，，又，则
. ………………………6分
18．如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．
（1）证明平面；
（2）设二面角为，求与平面所成角的大小
解：（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，，
∴，， ∴，，，
∴平面 ………………………6分
（2），，
设平面的法向量为，则， 取，
设平面的法向量为，则， 取，
∵平面平面，∴，故，
∴，， ∴，
设与平面所成角为，，则，∴，
∴与平面所成角的大小为 ………………………6分
19．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
解：（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，
则，，所以， ………………………6分
（2）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数，
由题意：，得，故至少要进行轮测试 ………………………6分
20．如图，线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，，
点是上一点，且，点随线段的运动而变化.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设为点的轨迹的左焦点，为右焦点，过的直线交的轨迹
于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
解：（1）设
由已知，，
点的轨迹方程为. ……4分
（2）由（1）知为，为，由题意直线的斜率不为0，
设直线为，由有，
设，恒成立且
令，则，
当且仅当，即时取“=”，∴的最大值为6，
此时的方程为或 ………………………8分
21．函数.
（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设，若，满足，求证：.
解：（1），
故在处的切线方程为，即：.……4分
（2）第一步：研究函数的性质，注意该如何描述.
，注意
当时，；当时，. 总之，对恒成立
对任恒成立， 函数在定义域区间上单增，
，不妨设 ………………………3分
第二步：析：逻辑链“
”
构造函数，证明函数单减.
解：设，
则
当时，，函数在区间上单减.
即：，即：
函数在定义域区间上单增，，………………………5分
四、选作解答题（解答须写出必要的文字说明、推理步骤和演算过程，第22题-第23题，每小题满分10分.在这两个试题中选答一题，若两个试题都选，以解答的第一个题的评分为该题得分.）
22．已知为椭圆任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.
（1）写出的参数方程和的普通方程； （2）求的最大值和最小值.
解：（1）由题意可得的参数方程为：（为参数），
又∵，且，
∴的普通方程为，即………………………4分
（2）由（1）得，设，圆的圆心，
则
∴当时，； 当时，|.
………………………6分
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，，.
（1）解不等式；（2）任意，恒成立，求的取值范围.
解：（1）不等式即，
两边平方得，解得，所以原不等式的解集为.
（2）不等式可化为，
又，所以，解得，
所以的取值范围为.成都市成华区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共12个小题，满分60分.每个小题有且只有一个正确选项，请把正确选项代号填涂到答题卡相应位置上.）
1.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．0
2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，为钝角，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6.已知不重合的两条直线，平面，且，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确的命题是（ ）.
A．①④ B．③④ C．①② D．①③
7.已知函数的大致图像如右图所示，则函数的解析式应为( )
A． B．
C． D．
8.在中，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9.已知函数（为常数，）的部分图像
如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，
则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
10．刍甍（chú méng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》
中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也”
翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面
意思为茅草屋顶．”已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部
分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.请把每小题的答案直接填涂到答题卡相应位置上）
13.已知集合，，若，则 .
14．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方
案共有 种 用数字回答．
15.函数的图像与直线的交点个数为 .
16.如图，在平面四边形中，，
.则 ，的长为 .
三、必作解答题（解答须写出必要的文字说明、推理步骤和演算过程，第17题-第21题，每小题满分12分，共60分.）
17．设为数列的前项和，且满足：.
（1）设，证明是等比数列； （2）求.
试题卷，请勿答题
18．如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，
，，是上的一点，．
（1）证明平面；
（2）设二面角为，求与平面所成角的大小
试题卷，请勿答题
19．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
20．如图，线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，，
点是上一点，且，点随线段的运动而变化.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设为点的轨迹的左焦点，为右焦点，过的直线交的轨迹
于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
试题卷，请勿答题
21．函数.
（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设，若，满足，求证：.
试题卷，请勿答题
四、选作解答题（解答须写出必要的文字说明、推理步骤和演算过程，第22题-第23题，每小题满分10分.在这两个试题中选答一题，若两个试题都选，以解答的第一个题的评分为该题得分.）
22．已知为椭圆任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.
（1）写出的参数方程和的普通方程； （2）求的最大值和最小值.
试题卷，请勿答题
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，，.
（1）解不等式；
（2）任意，恒成立，求的取值范围.
