第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法 课时练（含答案）

§6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2 C．5 D．10
3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)
A. B．2
C．3 D．2
6．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为(　　)
A．1 B. C．2 D．3
7．在△ABC中，M是线段BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝________.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
9.如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
10.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长．
11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
12．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　)
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
13．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于(　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
14．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝60°，D为BC的中点，点E满足＝4，直线CE与AD交于点P，则cos∠DPE等于(　　)
A. B. C. D.
15．已知四边形ABCD中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F为BD与AE的交点，则||等于(　　)
A. B．2 C．2 D．2
16.如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF.
6.4.1　平面几何中的向量方法
1.D　2.D　3.C　4.B　5.B
6.C　[
取BC的中点O，连接AO，如图所示.
∵＋2＝0，即＝2，
∴M为BC边上靠近C的三等分点，
∵AB＝AC，∴AO⊥BC，
∴·＝0，
又＝，
∴·＝·(＋)
＝·＋·＝·
＝||2＝，
解得||＝2，即BC＝2.]
7.　8.－
9.证明　如图所示，连接AC,
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF＝AC，
即＝，
同理可得＝，
所以＝，
又因为EF，HG不在一条直线上，
所以四边形EFGH是平行四边形.
10.解　以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点，
所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(2,1)，D(0,2)，F，
所以＝(2,1)，＝，
所以·＝－＋1＝－.
(2)因为AB＝，BC＝2，
所以A(0,0)，B(，0)，E(，1)，
C(，2)，D(0,2)，
设F(a,2)(0≤a≤)，
所以＝(，1)，＝(a－，2)，
当·＝0时，(a－)＋2＝0，
解得a＝，
所以CF＝－＝.
11.B
12.C　[假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心.]
13.D　[将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，
则＝
＝
＝
＝－6＝42－6＝10.]
14.B　[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(5,0)，C(2,2)，E(4,0)，
因为D为BC的中点，
故D，
则＝(2，－2)，＝，
故cos〈，〉＝＝＝，
所以cos∠DPE＝cos〈，〉
＝.]
15.A　[如图所示，由题意得
A(0,0)，B(10,0)，C(5,5)，D(0,5)，E.
设点F(x，y)，
则＝(x，y)，
＝，
由A，F，E三点共线得
x－y＝0，
即x－3y＝0，①
＝(x－10，y)，＝(－x,5－y)，
由B，F，D三点共线得
(x－10)(5－y)－y(－x)＝0，
即x＋2y＝10，②
由①②解得x＝6，y＝2，则F(6,2)，
∴＝(1，－3)，
∴||＝＝.]
16.证明　因为M是边BC的中点，
所以＝(＋).
又因为＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(·＋·－·－·)
＝(0＋·－·－0)
＝(·－·)
＝[||||·cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，
所以⊥，即AM⊥EF.