江西省宜春市宜丰县2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含答案）

江西省宜春市宜丰县2023-2024学年高一上学期期末数学试卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若经过两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A． B．3 C．2 D．1
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上
3．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．渐近线方程为
C．虚轴长为4 D．离心率为
7．“”是“圆：与圆：存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
B．
C. D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设向量，，则（ ）
A． B． C． D．与的夹角为
10．已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的离心率为
C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线
11．已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，
切点为，，则最小值为4
12．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（ ）
A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上.
13．直线被圆截得的弦长为 .
14．若为偶函数，则实数 .
15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
16．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为，则椭圆的方程为 ；若点为椭圆上的任意一点，
则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(1)求直线：，：的交点坐标；
(2)求点到直线：的距离.
18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程；
（2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程；
19．设直线和直线的交点为.
(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.
20．已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点．
(1)求圆的标准方程：
(2)如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程．
21．已知椭圆的焦距为2，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．
22．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.
江西省宜春市宜丰县2023-2024学年高一上学期期末数学参考答案：
1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．A
8．A【详解】椭圆C：的焦点在x轴上，
设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距.则由 得设，则，
所以，因为所在直线方程为，
所以直线与的距离为：，
设，则，则要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可.根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.
即当时有最大值，也即是时最小，由函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在上单调递减，在上单调递增.
因为函数在上，当时取得最小值，则.所以，即，所以，同时除以可得，解得,
CD 10．ACD 11．BCD
12．ACD【详解】对于选项A：设椭圆的半焦距为，
因为，解得，可知，
直线的斜率为，故A正确；对于选项B：由选项A可知：，且，则为等边三角形，由题意可知：，即直线l为的角平分线，
则点关于直线l对称，所以的周长为8，则，可得，
所以椭圆E的短轴长为，故B错误；对于选项C：因为，
所以，故C正确，对于选项D：因为直线l的方程为，椭圆方程为，设，联立方程，消去x得，则，可得，则，点直线l的距离为，所以四边形的面积为，故D正确；
14．0 15．
【详解】由题意可知，，则，的面积为，由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为；由题意可得，，
所以
，
所以，.
解：（1）联立，得，
所以直线和的交点坐标为；
点到直线的距离，
所以点到直线的距离为.
解：（1）椭圆中，
所以，
又经过点，
设椭圆方程为，
则，解得
,所以椭圆标准方程为.
（2）由题意可知，
设双曲线标准方程，则
解得，所以双曲线标准方程.
解：（1）由得交点，由直线与直线垂直，
则可设直线的方程为，
又直线过点，代入得，则，
所以直线的方程为；
（2）由题意可得直线与直线平行，则可设直线方程为：，
由直线与直线关于点对称，
得到两条直线的距离相等，
即，得（舍）或，
所以直线的方程为.
解：（1）设圆的半径为，由题可得
且，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得到弦长为，
所以，解得，
故直线的方程为或.
21．解：（1）由已知得，可得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）得，则直线：，
联立，消去得，
设，则，
所以.
解：（1）由双曲线定义可知，∴，
又由，∴，
∵，∴，
∴双曲线C的方程为.
（2）（i）设，，，
双曲线的渐近线方程为①，②，
将①＋②可得，
将①－②可得，
由于且，
相减可得，∴，即，
由题可知，∴，，
∴，即，∴直线PQ的方程为，即，
又∵点M在C上，∴，则，
将方程联立，得，
∴，由可知方程有且仅有一个解，
∴l与C有且仅有一个交点.
（ii）由（2）（i）联立，可得，同理可得，∴，∴，当且仅当即时取等号.
又∵，∴的取值范围为.