第七章 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课时练（含答案）

§7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为(　　)
A．－4＋20i
B．－2＋10i
C．－8＋20i
D．－2＋20i
2．(多选)复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第一象限内，则实数m可能是(　　)
A．－1 B．3 C．1 D．2
3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
5．已知i为虚数单位，复数z满足则z等于(　　)
A．2－i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
6．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　)
A．1－3i
B．－3－i
C．3＋5i
D．5＋3i
7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.
8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________.
9．计算：
(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
10．已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位)．
(1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；
(2)若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
11．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在(　　)
A．实轴上
B．虚轴上
C．第一象限
D．第二象限
12．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．3－2
B.－1
C．3＋2
D.＋1
13．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
14.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则|z1＋z2|等于________．
15．(多选)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是(　　)
A．z＋∈R
B．z－是纯虚数
C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
16．已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，O为坐标原点．
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求 ABCD的面积．
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1.B　2.BD　3.A　4.D　5.A　6.C　7.±2－2i　8.3＋3
9.解　(1)原式＝－i＝－i.
(2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.
(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
10.解　(1)依题意，|z1|＝＝，因为z2的实部与z1的模相等，则＝5，整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4.
(2)因为z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，且z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，
所以解得－511.B
12.D　[|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝.
∵－1≤cos≤1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.]
13.B　[根据复数加(减)法的几何意义，可知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.]
14.
解析　方法一　由题意可设
z2＝a＋bi(a<0，b>0)，
则
解得
∴z2＝－1＋2i，
∴z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)
＝1＋3i，
∴|z1＋z2|＝.
方法二　点A绕点O逆时针旋转90°后对应的点为B，由图可知，B点坐标为(－1,2)，
故z2＝－1＋2i，
z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)
＝1＋3i.
∴|z1＋z2|＝.
15.AD　[因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，
所以z＋∈R，A为真命题；
当z为实数时，也为实数，
则z－是实数，B为假命题；
若z＝cos ＋isin ，
则|z|＝≠1，C为假命题；
|z－i|＝1表示以点(0,1)为圆心，1为半径的圆，结合图形(图略)知，|z|的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题.]
16.解　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－，
∴向量对应的复数为
(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为
(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
又＝＋，
∴点D对应的复数为2＋i＋3－i＝5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝
＝＝.
∴sin B＝.
∴S ABCD＝||||sin B
＝××＝7，
故 ABCD的面积为7.