2023-2024学年湖北省部分县市区省级示范高中温德克英协作体高二第一学期期末综合性调研考试
数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.马林梅森是世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如其中是素数的素数，称为梅森素数素数也称质数在不超过的素数中，随机选取个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是
( )
A. B. C. D.
4.已知在等差数列中，，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车和客车中途停车修理的概率分别为，，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. B. C. D.
6.碳是碳元素的一种同位素，具有放射性活体生物其体内的碳含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳开始衰变并逐渐消失已知碳的半衰期为年，即生物死亡年后，碳所剩质量，其中为活体组织中碳的质量科学家一般利用碳这一特性测定生物死亡年代年科学家发现某生物遗体中碳含量约为原始质量的倍，依据计算结果并结合下表中我国历史朝代的时间段可推断该生物死亡的朝代为参考数据：( )
金年 年
元代年 年
明代年 年
清代年 年
A. 金 B. 元 C. 明 D. 清
7.已知函数，设，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线上有两点，，焦点为，为坐标原点，以下选项不是“直线经过焦点”的充要条件的是 ( )
A. B.
C. D.
10.已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则( )
A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同
C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同
11.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是( )
A.
B. 二面角的平面角余弦值为
C. 该截角四面体的外接球表面积为
D. 该截角四面体的表面积为
12.已知定义在上的函数满足，，且对任意的，当时，都有，则以下判断正确的是( )
A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增
C. 是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知当时，有，根据以上信息，若对任意都有则 ．
14.将个数排成行列的一个数阵，如图：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为给出下列结论：
；
；
；
．
其中结论正确的是 填写所有正确答案的序号
15.九章算术中有记载，“刍甍者下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，腰长为，，，则这个刍甍的体积为 ．
16.已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分已知函数在处取得极值
Ⅰ求函数的单调性；
Ⅱ证明：对于任意的正整数，不等式都成立．
18.本小题分在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”如图，在三棱锥中，为直角，底面．
求证：三棱锥为“鳖臑”；
若，是的中点，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给位病人服用，试验方案为：若这人中至少有人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
如果在该次试验中有人痊愈，院方欲从参加该次试验的人中随机选人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
如果新药有效，将治愈率提高到了，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性．
参考结论：通常认为发生概率小于的事件可视为小概率事件
20.本小题分已知数列的前项和为，，．
证明：数列为等比数列；
记数列的前项和为，证明：．
21.本小题分已知函数且．
若，求实数的取值范围；
当时，求方程的解．
22.本小题分在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量绕原点逆时针旋转得到，则有旋转变换公式已知曲线绕原点逆时针旋转得到曲线．
求曲线的方程
，为曲线右支上任意两点，且直线过曲线的右焦点，点，延长，分别与曲线交于，两点假设直线和的斜率都存在，分别为与，问是否存在实数，使得恒成立
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数学参考答案
1 2 3 4 5 6
B B A A B D
7 8 9 10 11 12
D B ACD BC ABC BCD
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ因为，
又因为为的极值点，
所以，解得．
经检验，满足题意，
此时，
令，得令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
所以在上单调递增，
在上单调递减；
Ⅱ证明：由可知，，
即当且仅当时取等号．
所以当时，，即
令，，
则，
即，
所以．
即．
18.解：证明：平面，，，平面，
，，，
、为直角三角形，
又为直角，则，即为直角三角形，
又，，平面，
则平面，
又平面，则，即为直角三角形，
三棱锥为“鳖臑”；
设，则，
，，
过点作的垂线，交于点，连接，如图所示：
由得平面，平面，则，
又，，，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
又，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列如下：
．
新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，，
，
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理．
20.解：因为，
所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为；
由可知，
所以，
所以．
21.解：，
若，函数单调递减，
故，解得：；
若，函数单调递增，
故，解得：，
综上可得：或．
当时，，
，
解得：或，
解得：或．
22.解：由题意可得，而，
则即．
曲线的方程为．
依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
代入双曲线并化简得：，
由于，则代入并化简得：
，
设，则，，
代入，得，
即，同理可得，
又因为，，三点共线，所以，可得，
所以
，
所以存在实数，使得成立． 2023-2024学年湖北省部分县市区省级示范高中温德克英协作体高二第一学期期末综合性调研考试
数学参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：Ⅰ因为，
又因为为的极值点，
所以，解得．
经检验，满足题意，
此时，
令，得令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
所以在上单调递增，
在上单调递减；
Ⅱ证明：由可知，，
即当且仅当时取等号．
所以当时，，即
令，，
则，
即，
所以．
即．
18. 解：证明：平面，，，平面，
，，，
、为直角三角形，
又为直角，则，即为直角三角形，
又，，平面，
则平面，
又平面，则，即为直角三角形，
三棱锥为“鳖臑”；
设，则，
，，
过点作的垂线，交于点，连接，如图所示：
由得平面，平面，则，
又，，，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
又，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19. 解：的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列如下：
．
新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，，
，
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理．
20. 解：因为，
所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为；
由可知，
所以，
所以．
21. 解：，
若，函数单调递减，
故，解得：；
若，函数单调递增，
故，解得：，
综上可得：或．
当时，，
，
解得：或，
解得：或．
22. 解：由题意可得，而，
则即．
曲线的方程为．
依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
代入双曲线并化简得：，
由于，则代入并化简得：
，
设，则，，
代入，得，
即，同理可得，
又因为，，三点共线，所以，可得，
所以
，
所以存在实数，使得成立．
