期末试题
一、单选题
1．直线 x 3y 2 0的倾斜角为（ ）
A．150 B．120 C．60 D．30
【答案】A
【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.
1 3
【详解】由题意直线 x 3y 2 0的斜率为 k ，所以直线 x 3y 2 0的
3 3
倾斜角为150 .
故选：A.
2．已知 A 1,2,1 是平面 内一点，n 1, 1,1 是平面 的法向量，若点 P 2,0,3 是平
面 外一点，则点 P到平面 的距离为（ ）
A 3 B 2 3． ． C． 3 D． 2 3
2 3
【答案】C
【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.
n AP
【详解】由题意得 AP 1, 2,2 3，故点 P到平面 的距离 d 3，
n 3
故选：C.
x2 y2 x2 y23．已知椭圆 1的左焦点是双曲线 2 1的左顶点，则双曲线的渐近线25 9 a 9
为（ ）
4 3 4 3
A． y x B． y x C． y x D． y =± x
5 5 3 4
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可.
【详解】设椭圆焦距为 2c c 0 ，
x2 2
则 c2
y
25 9 16，则 c 4，所以椭圆 1的左焦点为 4,0 ，
25 9
x2 y2
所以双曲线 1的左顶点为 4,02 ，a 9
所以 a 4，所以 a 2 16，
试卷第 1页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
x2 y2 3
所以双曲线 1的渐近线为 y =± x .
16 9 4
故选：D
4．已知 an 为正项等比数列， Sn是它的前 n项和，若 a1a5 = a3 ，且 a4与 a5的等差中项
为3，则 S5等于（ ）
15 15 31 31
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质得到 a4 a5 6，结合 a1a5 = a3，利用等比数列的基本量求
得 a1和公比q，再由等比数列的求和公式即可得到 S5 .
【详解】因为 a4与 a5的等差中项为3，所以 a4 a5 6，
设等比数列 an 的公比为 q q 0 ，
a a 6 a a q4 a q2 14 5
1 1 1
a1
又 a a a ，得： 3 4 ，解得： 4， 1 5 3 a
1q a1q 6 q 2
1
4 1 2
5
则 S 31，5 1 2 4
故选：C.
5．甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜 2局，乙胜 1局，规定先胜 3局
3
者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为 ，乙在每局比赛中获胜的概率为
4
1
，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
4
8 2 4 15A． B． 3 C． D．9 9 16
【答案】D
【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可.
【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况:
3
一是第 4局甲胜，此时甲胜的概率为 P1 ；4
3 3 3
二是第 4局甲负，第 5局甲胜，此时甲胜的概率为 P2 1 ，
4 4 16
3 3 15
所以甲取得最终胜利的概率为 P P1 P2 .4 16 16
故选；D.
6．已知 f x x lnx，曲线 y f x 在点Q处的切线 l与直线 2x y 14 0平行，则
直线 l的方程为（ ）
试卷第 2页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
A．2x y 1 0 B． 2x y 1 0
C． x 2y 1 0 D． x 2y 1 0
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出点Q的坐标，然后利用点斜式可得出直线 l的方程.
【详解】因为 f x x lnx 1，其中 x 0，则 f x 1 ，
x
1
直线 2x y 14 0的斜率为 2，由 f x 1 2，可得 x 1，且 f 1 1，即点Q 1,1 ，
x
所以，直线 l的方程为 y 1 2 x 1 ，即 2x y 1 0 .
故选：B.
7．已知 A 2,0 ，B 4,0 ，若直线 y k x 1 上存在一点 M使得 AM BM 0，则实数
k的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A． , B． , , 3 3 3 3
2
C． ,
2
D． ,
2 2
,
2 2
2
2
【答案】A
【分析】由 AM BM 0可得点 M在以 AB为直径的圆上，则以 AB为直径的圆与直线
y k x 1 有公共点，然后利用点到直线的距离公式列不等式可求得结果.
【详解】∵ AM BM 0，∴ AM BM ，
∴点 M在以 AB为直径的圆上，
∴以 AB为直径的圆与直线 y k x 1 有公共点．
∵以 AB为直径的圆的圆心为 3,0 、半径为 1，
3k 0 k
∴ 12 2 ， 化简整理得 3k
2 1 0 ，
k 1
3 3
解得 k ，
3 3
故选：A．
x2 28 y．已知双曲线C : 1(a 0,b 0)的左，右焦点分别是 F ,F ，过右焦点 F 的直线交
a2 b2 1 2 2
双曲线C的右支于 A,B两点，若 AF1 AB，且 AB 2 AF1 ，则C的离心率为（ ）
A． 2 B．1 2 C． 3 D．1 3
试卷第 3页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义及 AB 2 AF1 求出 AF1 , AF2 ，利用勾股定理可求结果.
【详解】如图，设 AF1 m，由双曲线定义知 AF1 AF2 2a ，
则 AF2 m 2a．
又 AB 2 AF1 2m，所以 BF2 AB AF2 2m (m 2a) m 2a，
所以 BF1 m 4a．
又 AF1 AB，所以 BF1 5m，由m 4a 5m，得
m 5 1 a AF1 ，则 AF2 m 2a 5 1 a ，而 F1F2 2c，
2 2 c
则 4c2 5 1 a2 5 1 a2 ，化简得 c2 3a2，所以 e 3．a
故选：C.
多选题 参考答案：
9．ABD
【分析】将点 M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，
根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.
【详解】解：将点 cos ,sin 代入直线 l的方程，满足 cos cos + sin sin 1 =
cos2 + sin2 1 = 1 1 = 0，
所以点 M在圆 C上，A选项正确；
将点 cos ,sin 代入圆 C的方程，满足cos2 + sin2 = 1，
所以点 M在圆 C上，B选项正确；
圆心 0,0 到直线 :cos + sin 1 = 0 的距离 = 1 = 1
cos2 +sin2
∵ = = 1
直线 与圆 相切，C选项错误，D选项正确；
故选：ABD.
试卷第 4页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
10．ABC
【详解】因为 2 +1 = + +2，所以 +2 +1 = +1 ，
又因为 1 = 19， 2 = 17，所以 2 1 = 2，
所以数列 是首项 19，公差为 2的等差数列，
即 = 19 2( 1) = 21 2 .故选项 AB正确.
因为 = 19 ( 1) = 20 2，所以 = 20 ，故选项 C正确.
因为 2 = 20 ，所以当 = 10 时， 有最大值，故选项 D错误.
11.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为 1，且它们
彼此的夹角都是 60°，则（ ）
A． AC1 6
B． AC1 BD
C．四边形 BDD1B
2
1的面积为
2
D．平行六面体 ABCD ABC D 21 1 1 1的体积为
2
【答案】ABD
【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量
求出 BD1,B1D，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可
求出体积.
【详解】 AC1 AB AD AA1 ，则
2 2 2 2
AC1 AB AD AA1 2 AB AD 2 AB AA1 2 AD AA1
12 12 12 2 1 1 cos60 2 1 1 cos60 2 1 1 cos60 6，故 AC1 6，A正
确；
AC1 AB AD AA1 ， BD AD AB，
试卷第 5页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
2 2 AC1 BD AB AD AA1 AD AB AB AD AB AD AD AB AA1 AD AA1 AB
1 1 cos60 12 12 1 1 cos60 1 1 cos60 1 1 cos60 0，故 AC1 BD，B正
确；
连接 BD1,B1D，则 BD1 BA AD DD1,B1D B1A1 A1D1 D1D，
2 2 2 2
BD1 BA AD DD1 2BA AD 2AD DD1 2BA DD1
12 12 12 2 1 1 cos120 2 1 1 cos60 2 1 1 cos120 2，即 BD1 2，同
理 B1D 2，故四边形 BDD1B1为矩形，
面积为1 1 1，C错误；
过 A1作 A1E 面 ABCD，易知 E在直线 AC上，过 E作 EF AB于F ，连接 A1F ，由
A1E AB ,EF AB 得 AB 面 A1EF，易得 AB A1F，故 AF AA
1
1 cos60 ，2
AE AF 3 ，A E AA2 AE2 6 ，故平行六面体 ABCD A1B1C1D1 1 1的体积为cos30 3 3
1 1 1 3 6 2 2 ，
2 2 3 2
D正确.
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
试卷第 6页，共 13页
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12．12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ， 5 + 6 = 4 1 + 2 = 3 4 = 6，所以 4 = 2，
所以 49 + 10 = 5 + 6 = 2 × 6 = 12，
故答案为：12.
13．0.9
【分析】求出 的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得 的值.
【详解】由对立事件的概率公式可得 = 1 = 0.6，
由独立事件的概率乘法公式可得 = ，因此， = = 0.9.
故答案为：0.9.
14． 2
【分析】在△ 中，由 sin∠ = 2sin∠ 结合正弦定理可得 = 2 ，在设
2
抛物线上点 , ，列式求解即可得 2，则 可求.
2
【详解】因为抛物线 : 2 = 2 的准线，焦点为 ，准线 与 的对称轴交于点 ，
1
所以 , 0 1， , 0 ，
2 2
因为在△ 中，sin∠ = 2sin∠ ，
所以由正弦定理可得， = 2 ,
2
因为 为抛物线 上一点，所以可设为 ,
2
2 + 1
2 2 2
由此可得 + 2 = 2 1 + 2，
2 2 2 2
平方化简可得： 4 2 2 + 1=0，即 2 1 2 = 0，可得 2 = 1,
=
2
+ 1
2
+ 2 = 1+ 1 = 2.
2 2
故答案为： 2.
15．（本题 13分）已知圆 C经过点 A( 1,1)和 B( 2, 2)，且圆心在直线 l : x y 1 0上，
求：
(1)求圆 C的标准方程；
试卷第 7页，共 13页
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(2)若过点 (0,3)作圆 C的切线，求该切线方程；
(3)若圆 C上恰有 3个点到直线：3x 4y m 0的距离为 1，求实数 m的值.
【详解】（1）解：因为点 A( 1,1)和 B( 2, 2)
3 1
，所以线段 AB的中点为 , ，k 3，
2 2 AB
1 1 3
则线段 AB 的中垂线方程为 y
2 3
x ，即 x 3y 3 0，
2
x 3y 3 0 x 3
由 ，解得 ，则圆心为 3, 2 r 3 1 2x y 1 0 ，y 2 2 1
2 5，
所以圆的方程为： (x 3)2 (y 2)2 25 ； （5分）
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为 x 0，
则圆心到直线的距离 d 3 r 5，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y 3 kx，即 kx y 3 0，
因为直线与圆相切，
3k 5
所以圆心到直线的距离等于半径，即 d 5，
1 k 2
15
解得 k 0或 k ， （5分）
8
所以切线方程为；15x 8y 24 0 或 y 3；
（3）因为圆 C上恰有 3个点到直线：3x 4y m 0的距离为 1，
1 m
所以圆心到直线的距离为 r 1 4，解得m 21或m 19 . （3
5
分）
16．（本题 15分）已知数列 an 是公比大于 0的等比数列，数列 bn 是等差数列，且
a1 b1 2， 2a2 a3 a4 ,b3 a1 a2 a3 .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；（5分）
(2)设 cn an bn，求数列 cn 的前 n项和 Sn；（5分）
(3)设dn anbn，求数列 dn 的前 n项和Tn .（5分）
【详解】（1）设等比数列 an 的公比为 q(q 0)，等差数列 bn 的公差为d ，
由 2a2 a3 a4，得 2a2 a2q a2q
2
，
即 q2 q 2 0，解得 q= 2或 q 1（舍），
试卷第 8页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
故 a n 1n a1q 2
n
；
由 b3 a1 a2 a3，得b1 2d 14，解得d 6，
故bn b1 n 1 d 6n 4；
综上， a nn 的通项公式为 an 2 , bn 的通项公式为bn 6n 4 . （5
分）
2 n（ ）由（1）可得 cn an bn 2 6n 4 .
c n 2 1 2
n n
S 2 6n 4 所以，数列 n 1n 的前 项和 n 2 3n 2 n 2 . （51 2 2
分）
3 n 1（ ）由（1）可得 dn anbn 3n 2 2 ，
则
T 1 22n 4 2
3 7 24 3n 2 2n 1① 2T 3n 1 2 4 24 7 25 3n 2 2n 2
②
①-②，得
3 23 2 n 2
T 4 3 23 3 24 3 2 n 1n
3n 2 2 n 2 4 3 n 2 2 n 2
1 2
5 3n 2n 2 20，
T 3n 5 2n 2所以， n 20 . （5分）
17．（本题 15分）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但
达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生
多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放
了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在 4种常规解法，
1 1
已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为 p, p, , ，且各种方法能否答对
4 2
1
互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为 ．
72
(1)求 p的值；（5分）
(2)求小红不能正确解答本题的概率；（5分）
试卷第 9页，共 13页
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(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．（5分）
【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件 D,E,F ,G，则
P D P E p ,P F 1 1 ,P G ，
4 2
1
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为 ，
72
于是 P DEFG P D P E P F P G 1 p2 1 1 ，解得 p ，
8 72 3
1
所以 p . （5分）
3
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
1 1 1 1 1 1所以小红不能正确解答本题的概率是 1 3 3
1 1 ． （5
4 2 6
分）
（3）记事件H为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则 P H P DEFG P DEFG P DEFG P DEFG
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
3 3 4 2 3 3 4 2 3 3
1 ，
4 2 3 3 4 2 9
1
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为 ．
9
（5分）
18．（本题 17分）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 A1B1上一点（不含端点），
F 为棱 BC的中点.
(1)若 E为棱 A1B1的中点，
（i）求直线 EF 与平面 A1BC1所成角的正弦值；（6分）
（ii）求平面 A1BC1和平面 AC的夹角的余弦值；（6分）
(2)求直线 EF 与 A1C1所成角余弦值的取值范围.（5分）
试卷第 10页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
【详解】（1）在正方体 ABCD A1B1C1D1中以DA,DC,DD1分别为 x, y, z轴建立空间直角
坐标系，如图所示
设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，
若 E为棱 A1B1的中点，则 E 2,1,2 ,F 1,2,0 ，B 2,2,0 , A1 2,0,2 ,C1 0,2,2 .
所以 A1C1 2,2,0 ,BA1 0, 2,2 ,FE 1, 1,2 .
（i）设平面 A1BC
1的一个法向量为n x, y, z ，
n
A1C1 0, 2x 2y 0,
则 即 x 1 n 1,1,1
n BA 0, 2x 2z 0,
令 ，则 .
1
n
FE
设 EF 与平面 A1BC1所成角为 ，则有 sin cosn
,FE 2 2 .n FE 3 6 3
故直线 EF 与平面 A1BC
2
1所成角的正弦值为 . （6分）
3
（ii）易知平面 AC的一个法向量为m 0,0,1 ，
A BC |m
n | 1 3
设平面 1 1和平面 AC的夹角为 ，则有 cos | cos m, n | .|m || n | 3 3
故平面 A1BC1和平面 AC
3
的夹角的余弦值为 . （6分）
3
（2）设直线 EF 与 A1C1所成角为 ,E 2,m, 2 (0 m 2)，则 FE 1,m 2,2 .
所以
A1C1 FE 2m 6
cos cosA1C1,FE
A 21C1 FE 2 2 (m 2) 5
1 m2 6m 9 1 2
2 1 2 m 4m 9 2 m 9
.
4
m
9 5 1 2 1 1 1 2
因为0 m 2，所以m 1 1，即
m 2 5 m
9
4 ，于是有 5 m ， 9 4
m m
试卷第 11页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
10 1
1 2 2 10 2
所以 10 2 m 9 4 2 ，即 cos .
m 10 2
故直线 EF 与 A1C
10 2
1所成角余弦值的取值范围为 , .10 2
（5分）
2
19. 17 x y
2
（本题 分）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C： 2 2 1 a b 0 的上顶点到a b
3
焦点的距离为 2，离心率为 .
2
(1)求 a,b的值；
(2)设 P是椭圆C长轴上的一个动点，过点 P作斜率为 k的直线 l交椭圆C于A、 B两点.
（i）若点 P的坐标为 P 1,0 ，且 2PA PB 0 ，求直线 l的方程；
（ii）若 PA2 PB2的值与点 P的位置无关，求 k的值.
【详解】
a 2
a 2
c 3
（1）由题意知： ，解得 c 3
a 2
b2 a
2 c2 b 1
a 2，b 1； （6分）
（2）
设 P m,0 ， A x1, y1 ，B x2 , y2 ， l : y k x m ，
x2
y2 1
联立方程 4 ，消去 x，得： (4k 2 1) y2 2mky (m2 4)k 2 0 ，
y k x m
y 2mk
1
y2 1 4k 2
则 2 2
y y (m 4)k
1 2
1 4k 2
（i）当m 1时，因为 P 1,0 在椭圆内，所以 0恒成立，
因为 2PA PB 0 2x1 x2 3,2y1 y2 ，所以 2y1 y2 0，
试卷第 12页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}
y y 2k
1 2 1 4k 2
又 2
y 3k1y2 1 4k 2
y 2k 0 y 2k y 4k则 1 ，即 ， ，1 4k 2 1 1 4k 2 2 1 4k 2
2k 4k 3k 2 15
则 2 2 2 ，即12k 2 5，解得：1 4k 1 4k 1 4k k 6
l y 15则 ： x 1 ； （6分）
6
（ii）因为 PA2 PB2 x1 m
2 2
y2 21 x2 m y2 ，
1
1 y2 y2 1 2 2 1 2 2 1 y1 y 2 y y 2 1 2 ， k k
2(k 2 1) 1 4k 2 m2 4 4k 2 1 ，
4k 2 1
若 PA2 PB2 的值与点 P的位置无关，即与m的值无关，
则m2的系数为 0，
1
即1 4k 2 0，解得 k . （5分）2
试卷第 13页，共 13页
{#{QQABIQaQggiIABJAAAhCAwVoCAOQkACACAoOQAAAMAIACAFABAA=}#}石家庄西山学校
2023-2024学年度第一学期期末考试
高二年级数学试题
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（ ）
A． B． C． D．
5．甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．已知直线，圆，点，正确的是（）
A．点在直线上 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切
10．设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为等差数列 C． D．当时，有最大值
11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A． B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．在等比数列 中，，则 ．
13．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则 ．
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点作圆C的切线，求该切线方程；
(3)若圆C上恰有3个点到直线：的距离为1，求实数m的值.
16．（本题15分）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.
17．（本题15分）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、
三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
18．（本题17分）如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
(1)若为棱的中点，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
(2)求直线与所成角余弦值的取值范围.
19.（本题17分）在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为.
(1)求的值；
(2)设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点.
（i）若点的坐标为，且，求直线的方程；
（ii）若的值与点的位置无关，求的值.
