湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期高二期末测试
数学试卷
考试时间：2024年1月31日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知数列，则“”是“为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.圆与圆的位置关系为（ ）
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
4.如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点在扰物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C.2 D.1
6.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A.161 B.171 C.181 D.191
7.两个等差数列和的前项和分别为，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是等差数列 B.
C.的最大值为10 D.
10.已知扰物线的焦点的坐标为，则（ ）
A.准线的方程为
B.焦点到准线的距离为4
C.过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点
D.抛物线与圆交于两点，则
11.伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的维形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的标准方程可以为
B.若，则
C.有且仅有一个点，使得
D.的最小值为
12.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A.当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C.当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D.当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，若与共线，则__________.
14.在数列中，，则__________.
15.已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，则此直线斜率的取值范围为__________.
16.如图所示，扰物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为__________；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知是等差数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
18.已知圆.
（1）过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
19.已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列满足.求数列的通项公式.
20.已知椭圆的右焦点与短轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
21.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面为线段的中点，过三点的平面与线段交于点，且.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22.已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.
湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期高二期末测试
数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C A B A D ABC BD AD ACD
13.-24 14. 15. 16.（2分）；（3分
17.解：（1）设数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以
（2）由（1）可知：
所以.
令，得，
解得：舍去）
因为，所以的最小值是12.
18.解：（1）由圆，得圆的圆心，半径；
点在圆上，设切线斜率为
所以，
解得，
故切线方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线满足条件，
当直线斜率存在时，设，即，
则圆心到直线距离，所以，
解得：，所以直线方程为：
综上，直线的方程为或
19.解：（1）证明：根据题意，数列满足，
等式两边除以，可得，即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）所以，所以..
由数列满足，可得，
可得，
当时，可得
，
又因为，适合上式，
所以数列的通项公式
20.解：（1）由已知得，
又因为右焦点与短轴端点间的距离为
得，
则的方程为.
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为显然存在，，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，
且.
因为
即
解得或
所以直线的方程为或
21.解：（1）证明：由题意得，
又平面平面平面.
又平面，平面平面
又
（2）取的中点为，连接，
又平面平面，平面平面平面，
平面
，则
又.
取的中点为，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设存在点，设，
，则，
设平面的法向量为，
，可取，
又平面的一个法向量，因为二面角的正弦值为
，解得或（舍）.
存在点，使得二面角的正弦值为，此时
22.解：（1）焦点，则直线为，
联立，消去消可得，
恒成立，
设，则，
，解得
所以抛物线的方程为
（2）设直线为，
联立方程，消可得，
显然：
设，则，
不妨设点，
以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，
则，又轴，
所以平行轴，则.
设，所以，
即
所以，即，
所以直线为：，
令，解得，
所以直线恒过此定点.