第八章 §8.3 培优课 与球有关的内切、外接问题 课时练（含答案）

培优课　与球有关的内切、外接问题
1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　)
A．6π B．12π C．8π D．16π
2．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)
A. B. C. D.
3．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为(　　)
A. B. C. D.
4．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的(　　)
A.倍 B．2倍 C．2倍 D．3倍
5．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　)
A. B. C. D．2π
6．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为(　　)
A. B. C．2 D.
7.某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的表面积为________．
8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A－EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为________．
9.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现．
(1)求圆柱的体积与球的体积之比；
(2)求圆柱的表面积与球的表面积之比．
10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.
(1)求AB的长度；
(2)求该长方体外接球的表面积．
培优课　与球有关的内切、外接问题
1.D　2.C
3.B　[设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示，
设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝，∴∠OAM＝30°，
∴R＝AH·tan∠OAM＝r，
则AB＝2R＝2r，
则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，
因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝.]
4.B　[设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，
则R2＝2＋r2.
因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r.
所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2，
所以4πR2＝4π
＝4×2πr2，
所以2＋r2＝2r2，
所以h2＝4r2，所以＝2.]
5.A　[设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3，
解得r＝1，h＝＝2，
设内切球的半径为R，
则＝，
∴R＝，
V＝πR3＝π3＝.]
6.AB　[因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3，
所以底面边长为，
因为外接球的表面积为8π，
所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略).
①当球心在线段PO上时，
计算得PO＝r＋
＝＋＝，
所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝；
②当球心在线段PO的延长线上时，
计算得PO＝r－
＝－＝，
所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝.]
7.64π
8.
解析　由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示，
设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r，则AG＝a，
EG＝FG＝，
易知在折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直，
所以四面体A－EFG的外接球半径
r＝＝a，联立4πr2＝，解得a＝.
9.解　(1)设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h＝2R，r＝R，
∴V圆柱＝πr2h＝2πR3，V球＝πR3，
∴＝＝.
(2)∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2，
S球＝4πr2，∴＝＝.
10.解　(1)设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1＝.
如图乙的最短路程为AC1＝＝，
∵x>1，
∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，
故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.
由题意得＝2，解得x＝2.
即AB的长度为2.
(2)设长方体外接球的半径为R，则
(2R)2＝12＋12＋22＝6，
∴R2＝，∴S＝4πR2＝6π，
即该长方体外接球的表面积为6π.