第八章 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课时练（含答案）

§8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48 B．64 C．16 D．96
2．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是(　　)
A．8 B．16
C．8＋12 D．8＋16
3.在我国瓷器的历史上，六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为(　　)
A．120 cm2 B．162.7 cm2
C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2
4.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)
A. B.
C. D.
5．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　)
A．正三棱锥的高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
6．如图1所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为(　　)
A．(1＋2)a2 B．(2＋)a2
C.a2 D.a2
7．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为______．
8.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________．
9．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．
11．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　)
A．侧面积之比为1∶4 B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27 D．体积之比为1∶26
12．中国古代数学著作《九章算术注》中记载：“斜解立方(即长方体)得二堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．如图所示，自左向右依次为立方、堑堵、阳马、鳖臑，若AB＝BC＝1，AA1＝2，则鳖臑的表面积为(　　)
A．2＋ B．2＋
C．1＋ D．1＋
13．已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是(　　)
A. cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．
15.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．
16．在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.B　2.D　3.C　4.C
5.ABD　[如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A，B正确；正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确.
]
6.D　[因为正方体的面对角线长为a，则其棱长为a，
图2所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，
上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形，其面积均为a×a＝a2，
前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2××a×a＝a2，
左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，
则此几何体的表面积为
2＝a2.]
7.1　8.110
9.解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，
交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2
＝＝＝64，
∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积
S侧＝4×8×5＝160.
直四棱柱的底面积
S底＝AC·BD＝20.
直四棱柱的表面积
S表＝160＋2×20＝160＋40.
10.解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，
∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4
＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120) cm2.
11.BD
12.A　[由题意可知鳖臑为四个面均是直角三角形的四面体.
∵长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为1,1,2，
∴C1D1＝1，C1C＝2，C1B＝D1C＝＝，
∴鳖臑的表面积S＝＝＋＋＋＝2＋.]
13.D　[设过同一顶点的三条棱长分别为a cm，b cm，c cm ，体对角线长为l cm，则a＋b＋c＝6，且2(ab＋bc＋ca)＝24，从而l＝＝
＝＝2(cm).]
14.
解析　连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∴EH∥AC，EH＝AC＝.
同理可得FG∥AC，
FG＝AC＝，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EG＝HF，EH＝HG，
∴四边形EFGH为正方形.
又四棱锥M－EFGH的高为，
∴四棱锥M－EFGH的体积为×2×＝.
15.36
解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，
∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
∴该几何体的表面积为36.
16.解　设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，因为M是AE的中点，
所以VM－ABCD＝V，
所以VE－MBC＝V－VE－MDC.
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
所以＝＝.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝.
所以VE－MBC＝VM－EBC＝V.