陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 845.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-02 07:57:01 | ||
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文档简介
高二年级教学质量监测
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 为生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线经过两点，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
5.抛物线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
6.若数列满足，则（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线，则（ ）
A. B.
C. D.
10.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.的公差为1 B.的公差为2
C. D.
11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（ ）
A.
B.
C.的取值范围为
D.的取值范围为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.直线被圆截得的弦长为__________.
14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.
15.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
16.已知数列满足，则__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式，
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求的方程.
19.（12分）
已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面是的中点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）
已知正项数列满足，数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
22.（12分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为.
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为，过作轴交双曲线于点（在第一象限），分别为椭圆的左 右顶点，与椭圆交于另一点为坐标原点，证明：.
高二年级教学质量监测
数学参考答案
1.A 由，得的斜率为.
2.D 观察可知，该数列的一个通项公式可以为.
3.D 离心率，解得，则，故双曲线的渐近线方程为.
4.D 当公比不为1时，等比数列的前项和满足，所以.
5.B 将抛物线的方程整理为标准形式，得，该抛物线的焦点在轴负半轴上，坐标为.
6.D 因为，所以，则.同理可得，则.
7.A 因为椭圆的左焦点为，所以.因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，所以.结合，可得，故椭圆的方程为.
8.A 易知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
设平面的法向量为，
则所以取，得.
设直线与平面所成的角为，
所以.
9.BD 因为，所以.
10.ACD 设的公差为，则解得则.故选ACD.
11.BD 因为，所以曲线，直线.当时，曲线表示的是圆，
直线的横截距与纵截距相等，A不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，正确.
12.BC 将代入，得.设，直线的方程为，联立方程组消去得.由，得或，所以，则.
因为，所以.
又因为，且或，所以.
13.6 因为圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.
14. 由题可知，得，所以，故的焦距为.
15. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
.
设异面直线与所成的角为，
则.
16. 因为，所以，即.
因为，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以，
故.
17.解：（1）当时，，
当时，.
符合，所以的通项公式为.
（2），
则.
18.解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等.
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）设，则
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，
所以，则，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
19.解：（1）设圆的方程为，
所以有
解得
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
20.解：（1）因为平面，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由，得，
因为是的中点，所以，则
.
又，所以，
解得，故.
（2）由（1）可知，，则.
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的法向量为，则
令，得.
.
故二面角的正弦值为.
21.（1）解：因为，且，所以，
所以，即，所以.
当时，，所以.
因为，所以，所以.
也符合上式，所以.
当时，.
因为，所以当时，，
所以当时，，即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即，所以
所以的通项公式为
（2）证明：因为，
所以，
两式相减得
，所以.
22.（1）解：椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率.
（2）证明：由（1）可知，因为，所以直线的方程为.
联立方程组整理得，
则，则.
，
则，
故.
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 为生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线经过两点，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
5.抛物线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
6.若数列满足，则（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线，则（ ）
A. B.
C. D.
10.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.的公差为1 B.的公差为2
C. D.
11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（ ）
A.
B.
C.的取值范围为
D.的取值范围为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.直线被圆截得的弦长为__________.
14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.
15.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
16.已知数列满足，则__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式，
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求的方程.
19.（12分）
已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面是的中点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）
已知正项数列满足，数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
22.（12分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为.
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为，过作轴交双曲线于点（在第一象限），分别为椭圆的左 右顶点，与椭圆交于另一点为坐标原点，证明：.
高二年级教学质量监测
数学参考答案
1.A 由，得的斜率为.
2.D 观察可知，该数列的一个通项公式可以为.
3.D 离心率，解得，则，故双曲线的渐近线方程为.
4.D 当公比不为1时，等比数列的前项和满足，所以.
5.B 将抛物线的方程整理为标准形式，得，该抛物线的焦点在轴负半轴上，坐标为.
6.D 因为，所以，则.同理可得，则.
7.A 因为椭圆的左焦点为，所以.因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，所以.结合，可得，故椭圆的方程为.
8.A 易知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
设平面的法向量为，
则所以取，得.
设直线与平面所成的角为，
所以.
9.BD 因为，所以.
10.ACD 设的公差为，则解得则.故选ACD.
11.BD 因为，所以曲线，直线.当时，曲线表示的是圆，
直线的横截距与纵截距相等，A不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，正确.
12.BC 将代入，得.设，直线的方程为，联立方程组消去得.由，得或，所以，则.
因为，所以.
又因为，且或，所以.
13.6 因为圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.
14. 由题可知，得，所以，故的焦距为.
15. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
.
设异面直线与所成的角为，
则.
16. 因为，所以，即.
因为，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以，
故.
17.解：（1）当时，，
当时，.
符合，所以的通项公式为.
（2），
则.
18.解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等.
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）设，则
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，
所以，则，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
19.解：（1）设圆的方程为，
所以有
解得
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
20.解：（1）因为平面，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由，得，
因为是的中点，所以，则
.
又，所以，
解得，故.
（2）由（1）可知，，则.
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的法向量为，则
令，得.
.
故二面角的正弦值为.
21.（1）解：因为，且，所以，
所以，即，所以.
当时，，所以.
因为，所以，所以.
也符合上式，所以.
当时，.
因为，所以当时，，
所以当时，，即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即，所以
所以的通项公式为
（2）证明：因为，
所以，
两式相减得
，所以.
22.（1）解：椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率.
（2）证明：由（1）可知，因为，所以直线的方程为.
联立方程组整理得，
则，则.
，
则，
故.
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