数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
第6章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
课程目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，了解投影向量并会求投影向量，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
一、平面向量数量积的物理背景
力所做的功的计算
★ 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方
向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为
其中 是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.
【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关；
【2】当0≤θ＜90°时，W＞0；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相
垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，既力F做负功.
二、向量的夹角
O
A
B
O
A
B
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
O
A
B
O
A
B
找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点
O
（1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的
起点移到同一起点（或同一终点），这样两向量所成的角才是这两个向量的夹角
例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹
角.其中AD是CA平移所得.（找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点）
（2）向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围
是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解.
（4）两向量垂直夹角是90°，即
（4）向量 与 的夹角也可以表示为
注意：
（3）
三、平面向量数量积的概念
平面向量数量积的定义
【规定】零向量与任一向量的数量积为0
（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其
大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.
（1）在书写数量积时， 与 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能不写.
（3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时， ；当θ为锐
角时， ；当θ为直角时， ；当θ为钝角
时， ;当θ=180°时，
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
数量积符号由cos 的符号所决定
①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，
其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零.
②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，但两个向量的数量积的结果是数量
③我们规定了 与任意向量的数量积为0，但由 =0，不能推出 或
一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时 ，
故也有 =0 .
0
④要注意 =0，但0
注意：
例1：
例2：
练习
常用知识点
四、投影及投影向量
如图①，设 和 是两个非零向量，AB= ，CD= ，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量
上的投影向量.
如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线
ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 在向量 上的投影向量.
当θ为锐角或0度时，投影的数量为正值；
当θ为钝角或180度时，投影的数量为负值；
当θ为直角时，投影的数量为0；
（1）投影的数量
由此可得数量积的几何意义：
等于
的长度
与
在
的方向上的投影的数量
的乘积。
（2）投影向量
思考：
例3、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
E
五、数量积的性质
六、数量积的运算律：
其中，
是任意三个向量，
注：
例4：
例5：
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
例题讲解
例6：
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 ，勿忘记开方．
(2) ， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
课堂练习
1、判断下列各题是否正确
(√)
(× )
( ×)
(× )
(√ )
(× )
(√ )
2、如图,边长为1的等边三角形ABC中,求：
A
B
C
方法总结：
【2】平面向量两两夹角都相等，且
【解】由题意，可得任意两个向量的夹角都是0°或120°
则
当两两夹角为0°时，方向相同
当两两夹角为120°时，由于则有
所以
5、
已知与的夹角为120°，求和的值.
【错解】由题意得
∴
∴
【正解】由题意得
∴
∴
∴
6、
【3】已知向量的夹角为120°，且
【解】由题意，
7、
1.向量夹角的定义
2.数量积的定义
3.投影向量的定义
三、课堂小结
6.2.4 向量的数量积运算
4.性质
5.运算律