山东省临沂市平邑县第一中学2015届高三下学期第二次学月考试数学（理)试题
文档属性
| 名称 | 山东省临沂市平邑县第一中学2015届高三下学期第二次学月考试数学（理)试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 353.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-07-24 12:34:29 | ||
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文档简介
2015届山东省临沂市平邑一中高三第二次学月考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合则
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，则复数=
A． B． C． D．
3．的展开式的常数项是
A．2 B．3 C．-2 D．-3
4．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为
A． B． C． D．
5．现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为
A．232种 B．252种 C．472种 D．484种
6．设，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为和，则输出M的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
8．如下图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
9．已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）m3
A． B． C． D．
11．在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
12．已知函数，。定义：，，
……，，…满足的点称为的n阶不动点。则的n阶不动点的个数是（ ）
A．n个 B．2n2个 C．2（2n-1）个 D．2n个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13．已知，，的夹角为60°，则_____。
14．设函数图象的一条对称轴是直线，则__________。
15．数列的前n项和记为，，则的通项公式为__________。
16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）。
①总存在某内角，使；
②若，则B>A；
③存在某钝角△ABC，有；
④若，则△ABC的最小角小于；
三、解答题（12分×5分，+10分）
17．已知数列的前n项和为，。
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求。
18．已知函数。
（1）求的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b，a，c成等差数列，且，求a的值。
19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
20．已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，。
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，（）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程。
21．已知函数在点处的切线与x轴平行。
（1）求实数a的值及的极值；
（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如果对任意的，有，求实数k的取值范围。
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：知能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。
（1）求证：
（2）若AQ=2AP，,BP=2，求QD。
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点P（-2，-4）的直线的参数方程为（t为参数）与C分别交于M，N。
（1）写出C的平面直角坐标系方程和的普通方程；
（2）若，，成等比数列，求a 的值。
24．设函数。
（1）若时，解不等式；
（2）若函数有最小值，求a的取值范围。
2015届山东省临沂市平邑一中高三第二次阶段考试
数学（理）试题参考答案
1．C 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D
9．A
解析：试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到所以过定点（3,0）。作出可行域
所以斜率应该在x轴与虚线之间，所以故答案为A。考点：线性规划
10．A
11．A
解析：试题分析：设，则有，因为EP⊥EQ，所以
，
即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。
考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。
12．D解析：试题分析：函数，当时，，
当时，，∴的1阶不动点的个数为2，当，，
当，
当，
当，
∴的2阶不动点的个数为，以此类推，的n阶不动点的个数是个。
考点：函数与方程的综合运用。
13．
14．
15．
16．①④
解析：试题分析：对①，因为，所以，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以B即，而不共线，则，解得，则a是最小的边，故A是最小的角，根据余弦定理
，知，故④正确；
考点：1．三角函数与解三角形；2．利用导数求函数的最值；3．不等式的应用。
17．（1）。（2）（3）见解析
解析：（1）解：由，得，∴。
又，即，得。
（2）证明：当时，，得，所以是首项为，公比为的等比数列。
（3）解：由（2）可得。
18．（1）；（2）。
解析：：（1） 2分
3分
由得， 5分
故的单调递增区间是 6分
（2）
于是，故 8分
由成等差数列得：，
由得 10分
由余弦定理得，，
于是 12分
考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）45°。
解析：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且。
又AB∥DE，且，∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP
又∵平面BCE，BP平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，,
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE。又∵平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2），以F为坐标原点，
FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F—xyz。设AC=2，
则C（0，-1,0），B（，0,1），E（0,1,2）。
设为平面BCE的法向量，
∴，∴，令n=1，则
显然，为平面ACD的法向量。
设面BCE与面ACD所成锐二面角为，
则。∴。
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°
法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO。
则面EBC面DAC=CO。
由AB是△EDO的中位线，则DO=2AD。
在△OCD中∵OD=2AD=2AC，∠ODC=60°。
OC⊥CD，又OC⊥DE。
∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，
∴OC⊥CE，∴∠ECD为所求二面角的平面角
在Rt△EDC中，∵ED=CD，∴∠ECD=45°
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。
20．（1）抛物线的方程为。（2）。
解析：（1）设，因为，由抛物线的定义得，
又，3分
因此，解得，从而抛物线的方程为。 6分
（2）由（1）知点P的坐标为P（2,4），因为∠APB的角平分线与x轴垂直，所以可知PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数
设直线PA的斜率为k，则，由题意， 7分
把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，
由韦达定理得，即，同理。
所以， 8分
设，把代入抛物线方程得，
由题意，且，从而
又，所以，点P到AB的距离，
因此，设, 10分
则，
由知，所以在上为增函数，因此，
即△PAB面积的最大值为。
△PAB的面积取最大值时b=0，所以直线AB的方程为。 12分
考点：1．抛物线的定义及其几何性质；2．直线与抛物线的位置关系；3．直线方程；4．应用导数研究函数的最值。
21．（1）的极大值1，无极小值（2），（3）
解析：（1）
∵在点（1，）处的切线与x轴平行∴
∴a=1 ∴
，
当时，，当时，
∴在（0,1）上单调递增，在单调递减，
故在x=1处取得极大值1，无极小值
（2）∵时，，
当时，，由（1）得在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，
函数的图象如图所示
∵函数在区间上存在极值和零点
∴
∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为，
（3）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则，
函数在上单调递减,
又，
∴，在上恒成立，∴在上恒成立
在上，∴
考点：导数、函数、极值、恒成立问题
22．（1）证明过程详见解析；（2）。
解析：（1）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，所以△ACB∽△CQA，所以,
所以 5分
（2）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，由，得，
AP为圆0的切线
又因为AQ为圆O的切线 10分
考点：同位角、弦切角、相似三角形、切线的性质、切割线定理。
23．（1）；（2）1。
解析：（1）曲线C的直角坐标方程为；
直线1的普通方程为。 4分
（2）将直线1的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
。
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根。
则，，。
由题设得，即。
由（*）得，，则有
，得，或。
因为，所以。
考点：参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，直线与抛物线位置关系
24．（1）。（2）。
试题解析：（1）当时，。
当时，可化为，解得；
当时，可化为，解得。
综上可得，原不等式的解集为。
（2）
函数有最小值的充要条件为即。
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合则
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，则复数=
A． B． C． D．
3．的展开式的常数项是
A．2 B．3 C．-2 D．-3
4．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为
A． B． C． D．
5．现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为
A．232种 B．252种 C．472种 D．484种
6．设，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为和，则输出M的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
8．如下图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
9．已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）m3
A． B． C． D．
11．在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
12．已知函数，。定义：，，
……，，…满足的点称为的n阶不动点。则的n阶不动点的个数是（ ）
A．n个 B．2n2个 C．2（2n-1）个 D．2n个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13．已知，，的夹角为60°，则_____。
14．设函数图象的一条对称轴是直线，则__________。
15．数列的前n项和记为，，则的通项公式为__________。
16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）。
①总存在某内角，使；
②若，则B>A；
③存在某钝角△ABC，有；
④若，则△ABC的最小角小于；
三、解答题（12分×5分，+10分）
17．已知数列的前n项和为，。
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求。
18．已知函数。
（1）求的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b，a，c成等差数列，且，求a的值。
19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
20．已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，。
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，（）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程。
21．已知函数在点处的切线与x轴平行。
（1）求实数a的值及的极值；
（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如果对任意的，有，求实数k的取值范围。
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：知能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。
（1）求证：
（2）若AQ=2AP，,BP=2，求QD。
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点P（-2，-4）的直线的参数方程为（t为参数）与C分别交于M，N。
（1）写出C的平面直角坐标系方程和的普通方程；
（2）若，，成等比数列，求a 的值。
24．设函数。
（1）若时，解不等式；
（2）若函数有最小值，求a的取值范围。
2015届山东省临沂市平邑一中高三第二次阶段考试
数学（理）试题参考答案
1．C 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D
9．A
解析：试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到所以过定点（3,0）。作出可行域
所以斜率应该在x轴与虚线之间，所以故答案为A。考点：线性规划
10．A
11．A
解析：试题分析：设，则有，因为EP⊥EQ，所以
，
即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。
考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。
12．D解析：试题分析：函数，当时，，
当时，，∴的1阶不动点的个数为2，当，，
当，
当，
当，
∴的2阶不动点的个数为，以此类推，的n阶不动点的个数是个。
考点：函数与方程的综合运用。
13．
14．
15．
16．①④
解析：试题分析：对①，因为，所以，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以B
，知，故④正确；
考点：1．三角函数与解三角形；2．利用导数求函数的最值；3．不等式的应用。
17．（1）。（2）（3）见解析
解析：（1）解：由，得，∴。
又，即，得。
（2）证明：当时，，得，所以是首项为，公比为的等比数列。
（3）解：由（2）可得。
18．（1）；（2）。
解析：：（1） 2分
3分
由得， 5分
故的单调递增区间是 6分
（2）
于是，故 8分
由成等差数列得：，
由得 10分
由余弦定理得，，
于是 12分
考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）45°。
解析：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且。
又AB∥DE，且，∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP
又∵平面BCE，BP平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，,
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE。又∵平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2），以F为坐标原点，
FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F—xyz。设AC=2，
则C（0，-1,0），B（，0,1），E（0,1,2）。
设为平面BCE的法向量，
∴，∴，令n=1，则
显然，为平面ACD的法向量。
设面BCE与面ACD所成锐二面角为，
则。∴。
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°
法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO。
则面EBC面DAC=CO。
由AB是△EDO的中位线，则DO=2AD。
在△OCD中∵OD=2AD=2AC，∠ODC=60°。
OC⊥CD，又OC⊥DE。
∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，
∴OC⊥CE，∴∠ECD为所求二面角的平面角
在Rt△EDC中，∵ED=CD，∴∠ECD=45°
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。
20．（1）抛物线的方程为。（2）。
解析：（1）设，因为，由抛物线的定义得，
又，3分
因此，解得，从而抛物线的方程为。 6分
（2）由（1）知点P的坐标为P（2,4），因为∠APB的角平分线与x轴垂直，所以可知PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数
设直线PA的斜率为k，则，由题意， 7分
把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，
由韦达定理得，即，同理。
所以， 8分
设，把代入抛物线方程得，
由题意，且，从而
又，所以，点P到AB的距离，
因此，设, 10分
则，
由知，所以在上为增函数，因此，
即△PAB面积的最大值为。
△PAB的面积取最大值时b=0，所以直线AB的方程为。 12分
考点：1．抛物线的定义及其几何性质；2．直线与抛物线的位置关系；3．直线方程；4．应用导数研究函数的最值。
21．（1）的极大值1，无极小值（2），（3）
解析：（1）
∵在点（1，）处的切线与x轴平行∴
∴a=1 ∴
，
当时，，当时，
∴在（0,1）上单调递增，在单调递减，
故在x=1处取得极大值1，无极小值
（2）∵时，，
当时，，由（1）得在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，
函数的图象如图所示
∵函数在区间上存在极值和零点
∴
∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为，
（3）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则，
函数在上单调递减,
又，
∴，在上恒成立，∴在上恒成立
在上，∴
考点：导数、函数、极值、恒成立问题
22．（1）证明过程详见解析；（2）。
解析：（1）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，所以△ACB∽△CQA，所以,
所以 5分
（2）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，由，得，
AP为圆0的切线
又因为AQ为圆O的切线 10分
考点：同位角、弦切角、相似三角形、切线的性质、切割线定理。
23．（1）；（2）1。
解析：（1）曲线C的直角坐标方程为；
直线1的普通方程为。 4分
（2）将直线1的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
。
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根。
则，，。
由题设得，即。
由（*）得，，则有
，得，或。
因为，所以。
考点：参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，直线与抛物线位置关系
24．（1）。（2）。
试题解析：（1）当时，。
当时，可化为，解得；
当时，可化为，解得。
综上可得，原不等式的解集为。
（2）
函数有最小值的充要条件为即。
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