山东省临沂市平邑县第一中学2015届高三下学期第二次学月考试数学（文）试题

2015届山东省临沂市平邑一中高三第二次学月考试
数学（文）试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知是虚数单位，则复数的虚部是
A．0 B． C． D．1
2．若角的终边过点，则的值为
A． B． C． D．
3．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为
A． B． C． D．
4．下列函数为偶函数的是
A． B．
C． D．
5．“”是“，使得”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设在△ABC中，，，AD是边BC上的高，则的值等于（ ）
A．0 B． C． 4 D．
7．设集合，集合。若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的前n项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
9．三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的两个焦点分别为，，P是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．在如图所示的程序框图中，当时，函数等于函数的导函数，若输入函数，则输出的函数可化为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．方程的根，则k=_____。
14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，，若，则实数t=_______。
15．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为_________。
16．数列的通项，其前n项和为，则为_______。
三、解答题
17．（12分）已知函数。
（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等比数列，且，求的值。
18．（12分）某高校在2012年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160,165），第二组[165,170），第三组[170,175），第四组[175,180），第五组[180,185）得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。
19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求。
20．（12分）已知椭圆C：过点，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标。
21．（12分）已知函数，其中。
（1）当a=3，b=-1时，求函数的最小值；
（2）当a>0，且a为常数时，若函数对任意的，总有成立，试用a表示出b的取值范围。
选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号。
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。
（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
23．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（）。
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数，。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求a的取值范围。
2015届山东省临沂市平邑一中高三第二次阶段考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9． C 10．B 11．C 12．C
二、填空题
13．2 14．2 15． 16．470
三、解答题
17．解：（1）（3分）
易知函数的最小正周期，（4分）
最大值为5，对应的自变量的取值集合（6分）
（2）因为在中，若成等比数列，
∴，又∵ ∴（8分）
∴
∴（12分）
18．解：（1）由题设可知，第三组的频率为0．06×5=0．3
第四组的频率为0．04×5=0．2 第五组的频率为0．02×5=0．1（3分）
（2）第三组的人数为0．3×100=30 第四组的人数为0．2×100=20
第五组的人数为0．1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组抽到的人数分别为：第三组 第四组
第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。（6分）
（3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为,
第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：

共15种可能……（9分）
其中第四组的2为同学中至少1为同学入选有，共9种可能。
所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为。（12分）
19．解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，……2分
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF。……4分
（2）设DF的中点为N，则MN，又，
则，MNAO为平行四边形，………………6分
∴OM∥AN，又AN平面DAF，PM平面DAF，∴OM∥平面DAF。8分
（3）过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，∴，………………10分
∵CB⊥平面ABEF，∴，
∴………………12分
20．解：（1）因为点在椭圆C上，所以，又椭圆C的离心率为，
所以，即，所以，
所以椭圆C的方程为（4分）
（2）设，，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，
由，得，
所以，因为P为MN中点，所以，即，
所以，因为直线，所以，所以直线的方程为
，即，显然直线恒过定点（10分）
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，
此时直线为x轴，也过点 综上所述，直线恒过定点（12分）
（此题还可以用点差法）
21．解：（1）当时，
∴
∵，∴时，；时，
即在上单调递减，在上单调递增
∴在处取得最小值，即。
（2）由题意，对任意的，总有成立。
令，，则函数在上单调递增
∴在上恒成立，
∴在上恒成立。
构造函数则
∴F（x）在上单调递减，在上单调递增
（i）当，即时，F（x）在上单调递减，在上单调递增
∴∴，从而
（ii）当，即时， 在上单调递增
，从而
综上，当时，，时，
22．解：（1）连结DE，交BC为G，由弦切角定理得，，而，故．又因为DB⊥BE，所以DE为直径，，由勾股定理，可得DB=DC。
（2）由（1），，DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以，圆心为O，连结BO，则，，所以CF⊥BF，故外接圆半径为。
23．解：（1）将，消去参数t，化学普通方程，
即：，
将代入得
所以极坐标方程为。
（2）C2的普通方程为，解得或。
所以C1与C2交点的极坐标为。
24．解：（1）当a=-2时，不等式化为，
设函数，则
其图象如图所示
从图象可知，当且仅当时，y<0，所以原不等式的解集是；
（2）当，，不等式化为，
所以对都成立，故，即，
从而a的取值范围是。