广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试卷（含答案）

广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试
数学试卷
本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在当今时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来的通信速率有望达到．香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率和信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率大约会提升到原来的（ ）（参考数据：，）
A．2.3倍 B．3.3倍 C．4.6倍 D．6.6倍
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义域为Ⅰ的函数，，使，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“，”的否定是______．
14．已知，，则______．
15．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域是______．
16．如图，要在一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮中截取两块矩形铁皮和，使点在弧上，点在半径上，边与边在半径上，且点为线段的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为，则的最大值为______，此时______．（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）求不等式的解集．
18．（12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值．
19．（12分）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．
20．（12分）已知函数，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．
21．（12分）
某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数（单位：万人）之间的关系．
（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；
（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．
22．（12分）
已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）当时，求不等式的解集．
高一年级数学调研测试参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A D A B C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BCD 10．AC 11．ABC 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．， 14． 15． 16．9，
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：（1）因为，所以，
所以．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，取得最大值．
（2）不等式即，可化为，解得，或．
因为，所以，或．所以不等式的解集为．
18．解：（1）．
所以函数的最小正周期．
（2）由（1）得，．
因为，所以，即．
因为，所以．
所以．
19．解：（1）为奇函数．
理由如下：函数的定义域为．因为，都有，
且，所以函数为奇函数．
（2）当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
证明如下：，，且，有
．
因为，所以．
当时，，，即，
所以在上是增函数；
当时，，，即，
所以在上是减函数．
20．解：（1）
．
令，由的单调递减区间为，，
得，解得，，
所以函数的单调递减区间是，．
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，即的图象．
令，则．
因为，所以，即．
因为在上单调递减，
所以当时，取得最小值1．
所以当时，取得最小值1．
21．解：（1）依题意得，解得所以．
因为在上单调递增，所以符合预测①．
因为当时，，所以符合预测②．
（2）由得．
要使得函数符合预测①，则在上单调递增，
则应满足或
当时，，此时符合预测①；
由指数增长可知，一定存在，当，使得，此时不符合预测②．
当时，，此时符合预测①；
由，得，又，所以，即．
要使符合预测②，则需，即．
又，解得．综上所述，的取值范围是．
22．解：（1）令得，．
（2）令，，则．
因为，所以，即，
所以，所以，即，
所以，所以的一个周期为6．
因为，所以，，，
即的连续六项之和等于0，所以
．
（3）令，得，，又，所以．
令，得，，
又，所以，所以是偶函数．
因为在上单调递减，所以在上单调递增．
令得，因为，所以，
所以不等式可化为，解得．
因为，，所以当时，的解集为．
由（2）知，6是函数的一个周期，
所以当时，不等式的解集为．