湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

武汉市常青联合体2023-2024学年度第一学期期末考试
高二数学试卷
考试时间：2024年1月25日 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°或150° B．60或120° C．45°或135° D．90或180°
2．已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．7
3．设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．7 B．12 C．31 D．15
4．已知在空间四边形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为
C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14
7．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且）．则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
8．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左右两支分布交于两点M，N，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限
B．直线过定点
C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴上的截距为3的直线的方程为
10．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）
A．点在平面的射影为的中心
B．直线平面
C．三棱锥的体积不为定值
D．异面直线与BM所成角为
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．
12．已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线与点M，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为2
C．过A，B两点分别作，与准线垂直，则为锐角三角形
D．△ABM的面积不为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分．
13．以椭圆长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为______．
14．已知等差数列，记为数列的前n项和，若，，则数列的通项公式为______．
15．若两条平行直线与之间的距离是，则______．
16．已知正四面体的棱长为3，底面BCD所在平面上一动点P满足，则点P运动轨迹的长度为______；直线AP与直线CD所成的角的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线和直线．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值．
18．（12分）已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的最大项是该数列的第几项．
19．（12分）已知直线与抛物线恒有两个交点A、B．
（1）求P的取值范围；
（2）当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度．
20．（12分）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形且，O为AD中点．
（Ⅰ）若，求证：平面平面PAD；
（Ⅱ）若平面平面ABCD，且，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角的大小为45°，如存在，求的值，如不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线AN，BM交于一定点，并求出该定点坐标．
高二数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B D D A C C D BC ABD BCD ABD
13、 14、
15、10 16、
17、（1）若，则
，解得或2；…………………………………4分
（2）若，则，解得或1.………………7分
时，，满足，………………8分
时，，此时与重合，………………9分
所以.………………10分
18、（1）当时，，不满足上式，……………2分
当时，，……………4分
故数列的通项公式为；……………5分
（2）由已知得，……………6分
当时，，…………7分
则，即………………………9分
得 即n=7………………………10分
所以当，的最大项为第7项，
又，………………………11分
所以数列的最大项是该数列的第项………………………12分
19、（1）（法一）由题：，知恒过顶点（2，1）
又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程
故1<4
解得，即的取值范围为…………………5分
（法二）将直线与抛物线方程联立，得，
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，
故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为.…………………5分
（2）由题，当 时，：，即………………6分
令得
由过焦点得；，所以抛物线：．………………8分
将直线与抛物线方程联立，并令，，得
， ……………10分
由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，
故．……………12分
20、（1）由题意得，，
，，解得（舍去）
则，解得，所以. ……………3分
则，
设等差数列的公差为，则，
所以. ……………6分
（2）. ……………7分
所以，
……………9分
两式相减得
= ……………11分
故 ……………12分
21、（Ⅰ），为中点，
.
又四边形为菱形且，
设
.
，
平面.
平面，
平面平面. ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
平面平面，平面平面,
平面
即两两互相垂直……………6分
以为坐标原点，为 轴建立空间直角坐标系如图所示.
所以， ，
设，所以 .……………7分
平面的法向量为.
设平面 的法向量为，则 ，令，则可得.……………9分
由于二面角的大小为，
所以 ，即，
解得 . ……………11分
所以存在点使二面角的大小为，且 . ……………12
22、（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴.
由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.
∴，∴.
又，解得，，.
∴椭圆的方程为：；……………4分
（2）设与轴交于点，则，
当的斜率为0时，显然不适合题意；……………5分
当的斜率不存在时，直线为，……………6分
∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点.
当直线的斜率存在且不为0时，设，，
直线为：，联立，
得，
，
∴，，……………8分
设，，则，，
联立，得，
将，代入整理得.……………10分
将代入，得
.
综上，直线、交于定点.……………12分