任意角
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1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、教学目标：
知识目标 ：
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；
能力目标 ：
（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；
（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；
德育情感目标：
（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；
（2）学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点：
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
三、学法与教学用具：
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:多媒体、三角板
四、教学设想：
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1． 任意角概念的引入：
（1）.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？
学生回忆初中角的定义：角-- 一点出发的两条射线所围成的图形（静止的）
运动的观点看角的定义： [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
（2）.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.
（3）又该如何区分和表示这些角呢
从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考，学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方向。
（4）给出任意角（正角、负角和零角）的定义.
引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角和零角的概念。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
2.象限角的概念
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
（1）问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？
（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210°，－150°，－660）
学生：画图探究，讨论、交流，给出合理的放法
（2）给出象限角的定义
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
3．终边相同的角表示
（1）思考：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角
试想：都有哪些角的终边与30度角的终边相同？
学生举例
（2）探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一 如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系 请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.
设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.
（3）给出终边相同的角的集合表示
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
练习: (1)(口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
4.例题讲评
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题.
（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
2.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢
(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗
五、布置作业
1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．
2．
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1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、教学目标：
知识目标 ：
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；
能力目标 ：
（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；
（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；
德育情感目标：
（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；
（2）学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点：
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
三、学法与教学用具：
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:多媒体、三角板
四、教学设想：
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1． 任意角概念的引入：
（1）.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？
学生回忆初中角的定义：角-- 一点出发的两条射线所围成的图形（静止的）
运动的观点看角的定义： [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
（2）.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.
（3）又该如何区分和表示这些角呢
从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考，学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方向。
（4）给出任意角（正角、负角和零角）的定义.
引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角和零角的概念。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
2.象限角的概念
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
（1）问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？
（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210°，－150°，－660）
学生：画图探究，讨论、交流，给出合理的放法
（2）给出象限角的定义
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
3．终边相同的角表示
（1）思考：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角
试想：都有哪些角的终边与30度角的终边相同？
学生举例
（2）探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一 如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系 请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.
设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.
（3）给出终边相同的角的集合表示
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
练习: (1)(口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
4.例题讲评
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题.
（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
2.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢
(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗
五、布置作业
1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．
2．
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