贵州省毕节市七星关区第一教育集团2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

七星关区第一教育集团期末考试
高二数学试卷
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章～第五章5.2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．13 C．10 D．
3．质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，则（ ）
A．16 B．24 C．60 D．72
5．“方程表示椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，则在处的导数是（ ）
A． B． C． D．
7．两平行平面分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且时，，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8（单位：环），下列说法正确的有（ ）
A．这组数据的平均数是8 B．这组数据的极差是4
C．这组数据的分位数是9 D．这组数据的方差是2
10．已知圆的方程为，若圆上恰好有3个点到直线的距离为1．则的方程不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则（ ）
A．
B．的离心率不可能是
C．以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切
D．存在点使得是顶角为的等腰三角形
12．数列中，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角______．
14．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则______．
15．将函数图象上所有点的橫坐标缩短为原来的．纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为______．
16．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的体积是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在前项和为的等差数列中，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）当时，求的最大值．
18．（本小题满分12分）
的内角所对的边分别为．已知，且．
（1）求的面积；
（2）若．求的周长．
19．（本小题满分12分）
在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．
（1）求丙答题正确的概率；
（2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．
20．（本小题满分12分）
如图所示的多面体由三棱锥与四棱锥对接而成，其中平面，，，，，，是的中点．
（1）求证：，
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
22．（本小题满分12分）
已知圆与直线相切，与圆交于两点，且为圆的直径，圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设点是上不同的两点，且直线的斜率均为为轴上一动点，且，求的最小值．
七星关区第一教育集团期末考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C B D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AB BCD BC ABD
1．B ，所以．故选B．
2．A 复数为纯虚数，故需要．故选A．
3．D 由，得．
4．C ．
5．A 方程表示椭圆，则，解得且，因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件．故选A．
6．C 由函数，可得，所以，解得．故选C．
7．B 两平行平面分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量两平面间的距离．故选B．
8．D ，由奇函数知，所以．
9．AB 对于A，这组数据的平均数是，故A正确；
对于B，这组数据的极差是，故B正确；
对于C，这组数据从小到大为这组数据的分位数是8，故C错误；
对于D，这组数据的方差是，故D错误．故选AB．
10．BCD 由题知圆心到直线距离为1，A满足．
11．BC ，A错误；因为，所以的离心率，B正确；设，则到渐近线的距离，C正确；由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上，由可知直线与的右支无交点，所以，若，由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，D错误，故选BC．
12．ABD 由题意得：，
数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知：，
，D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以．
14．6 ，则在点处的切线的斜率为，则，则在点处的切线的斜率为，由题可知，即．
15． 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以为偶函数，所以，解得，又，所以的最小值为．
16． 设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，故，所以体积为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．解：（1）设数列的公差为，由题意有：，解得，
故数列的首项为18，公差为．
（2）由（1）知，由，得，
又，则的最大值为7．
18．解：（1）由，得，
，故的面积．
（2）由余弦定理得，，，
，即的周长为．
19．解：（1）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，
设丙答对题的概率，乙答对题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件．
根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，
所以丙答对这道题的概率为．
（2）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为
．
20．（1）证明：依题意，平面平面平面，
则有，
又，即两两垂直，
以点为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，则，
则，因此，，即，所以．
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，而，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是．
21．解：（1）由，得，
，
数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
，即．
（2）由题意得．
，
，
两式相减得：
，，
又，而，．
22．解：（1）设圆心，则圆的半径为，
所以为圆的直径时，由得，，
则，故轨迹的方程．
（2）因为直线的斜率均为，所以三点共线，
则直线的方程为，
由可得，
设，则，
所以，
因为，所以点在线段的垂直平分线上，
又，所以线段的中点坐标为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，故．
又，所以，所以，
令，则，所以．
则，
当时，的最大值为，
故的最小值为．