七星关区第一教育集团期末考试
高二数学试卷
考生注意:
1.满分150分,考试时间120分钟。
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围:人教A版必修第一册、第二册,选择性必修第一册,选择性必修第二册第四章~第五章5.2.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数,则( )
A. B.13 C.10 D.
3.质点按规律做直线运动(位移单位:,时间单位:),则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中,,则( )
A.16 B.24 C.60 D.72
5.“方程表示椭圆”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数,则在处的导数是( )
A. B. C. D.
7.两平行平面分别经过坐标原点和点,且两平面的一个法向量,则两平面间的距离是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数,且时,,则( )
A.1 B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9.某士官参加军区射击比赛,打了6发子弹,报靶数据如下:7,8,9,10,6,8(单位:环),下列说法正确的有( )
A.这组数据的平均数是8 B.这组数据的极差是4
C.这组数据的分位数是9 D.这组数据的方差是2
10.已知圆的方程为,若圆上恰好有3个点到直线的距离为1.则的方程不可能是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点,则( )
A.
B.的离心率不可能是
C.以为圆心,半径为的圆一定与的渐近线相切
D.存在点使得是顶角为的等腰三角形
12.数列中,,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知直线的一个方向向量为,则直线的倾斜角______.
14.函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线,则______.
15.将函数图象上所有点的橫坐标缩短为原来的.纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的最小值为______.
16.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体,且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为和3,则此组合体的外接球的体积是______.
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在前项和为的等差数列中,.
(1)求数列的首项和公差;
(2)当时,求的最大值.
18.(本小题满分12分)
的内角所对的边分别为.已知,且.
(1)求的面积;
(2)若.求的周长.
19.(本小题满分12分)
在体育知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题,已知甲答题正确的概率是,乙答题错误的概率是,乙、丙两人都答题正确的概率是,假设每人答题正确与否是相互独立的.
(1)求丙答题正确的概率;
(2)求甲、丙都答题错误,且乙答题正确的概率.
20.(本小题满分12分)
如图所示的多面体由三棱锥与四棱锥对接而成,其中平面,,,,,,是的中点.
(1)求证:,
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)数列满足,设为数列的前项和,求使恒成立的最小的整数.
22.(本小题满分12分)
已知圆与直线相切,与圆交于两点,且为圆的直径,圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)设点是上不同的两点,且直线的斜率均为为轴上一动点,且,求的最小值.
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参考答案、提示及评分细则
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C B D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AB BCD BC ABD
1.B ,所以.故选B.
2.A 复数为纯虚数,故需要.故选A.
3.D 由,得.
4.C .
5.A 方程表示椭圆,则,解得且,因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选A.
6.C 由函数,可得,所以,解得.故选C.
7.B 两平行平面分别经过坐标原点和点,且两平面的一个法向量两平面间的距离.故选B.
8.D ,由奇函数知,所以.
9.AB 对于A,这组数据的平均数是,故A正确;
对于B,这组数据的极差是,故B正确;
对于C,这组数据从小到大为这组数据的分位数是8,故C错误;
对于D,这组数据的方差是,故D错误.故选AB.
10.BCD 由题知圆心到直线距离为1,A满足.
11.BC ,A错误;因为,所以的离心率,B正确;设,则到渐近线的距离,C正确;由双曲线定义可知,若,则直线的斜率为1且点在的右支上,由可知直线与的右支无交点,所以,若,由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形,D错误,故选BC.
12.ABD 由题意得:,
数列是以3为周期的周期数列.
对于A,,A正确;
对于B,,B正确;
对于C,,C错误;
对于D,由递推关系式知:,
,D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 因为直线的一个方向向量为,所以直线的斜率,又因为,所以.
14.6 ,则在点处的切线的斜率为,则,则在点处的切线的斜率为,由题可知,即.
15. 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,因为,所以为偶函数,所以,解得,又,所以的最小值为.
16. 设外接球半径为,球心为,圆台较小底面圆的圆心为,则,而,故,所以体积为.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.解:(1)设数列的公差为,由题意有:,解得,
故数列的首项为18,公差为.
(2)由(1)知,由,得,
又,则的最大值为7.
18.解:(1)由,得,
,故的面积.
(2)由余弦定理得,,,
,即的周长为.
19.解:(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,
设丙答对题的概率,乙答对题的概率,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此是相互独立事件.
根据相互独立事件同时发生的概率公式,得,解得,
所以丙答对这道题的概率为.
(2)甲、丙都答题错误,且乙答题正确的概率为
.
20.(1)证明:依题意,平面平面平面,
则有,
又,即两两垂直,
以点为坐标原点,射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,
因,则,
则,因此,,即,所以.
(2)由(1)知:是平面的一个法向量,
设平面的法向量为,而,
则,令,得,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值是.
21.解:(1)由,得,
,
数列是以3为公比,以为首项的等比数列,
,即.
(2)由题意得.
,
,
两式相减得:
,,
又,而,.
22.解:(1)设圆心,则圆的半径为,
所以为圆的直径时,由得,,
则,故轨迹的方程.
(2)因为直线的斜率均为,所以三点共线,
则直线的方程为,
由可得,
设,则,
所以,
因为,所以点在线段的垂直平分线上,
又,所以线段的中点坐标为,
则线段的垂直平分线方程为,
令,得,故.
又,所以,所以,
令,则,所以.
则,
当时,的最大值为,
故的最小值为.