山东省日照市2023-2024学年高一上学期期末校际联合考试数学试题（含答案）

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
日照市2023级高一上学期期末校际联合考试
数学试题 2024.02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若命题：“，”，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦．2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数在定义域中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A． B．
C．事件与不互斥 D．事件与相互独立
12．对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，若，则
D．，使成立
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，，…，的平均数是10，则，，…，的平均数是______．
14．已知函数，若，则实数的值为______．
15．如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为______．
16．设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18．（12分）
已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．
19．（12分）
1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
20．（12分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
21．（12分）
2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
（天） 5 10 15 20 25 30
（个） 205 210 215 220 215 210
（1）给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）．
22．（12分）
已知函数，．
（1）若，求的最小值；
（2）令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．
2023级高一上学期期末校际联合考试
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-4 BCAC 5-8 BADB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．AD 10．BC 11．BCD 12．BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．21 14．3 15． 16．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）【解析】不等式的解集是，所以．
（1）当时，，故；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以是的子集，
故，解得即
18．【解析】（1）由题意，解得：或3，
若是偶函数，则，故；
（2），对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得：或．
所以实数的取值范围为或．
19．【解析】（1）由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%为，
由题意可知，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，，，共12个样本，符合条件的，，3个样本，
所以符合条件的概率为，
即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
20．【解析】（1），令，
则原不等式可化为，解得，即
所以，不等式的解集．
（2）当时，令，可得，原不等式可化为对于能成立，即可得对于能成立，
易知函数在上单调递增，所以，
因此只需即可，得；
即的取值范围是．
21．（12分）【解析】（1）根据表格数据，的函数值关于220对称，故选择合适．
又，，
解得，，
故，验证均满足．
故
（2）
当，时，，
当，即时等号成立；
当，时，在上单调递减，
故最小值为．
综上所述：当时，有最小值为427元．
22．【解析】（1）因为，，
则由得，所以定义域为，
而，
设，则在上单调递增，故，
则，开口向上，对称轴为，
所以当时，．
（3），，
则，
设，，，
令，则开口向上，
原问题转化为对于任意，，都有，
所以在上单调递增，
①当时，即，在上单调递增，
同时满足，解得，
此时，故，满足题意，所以；
②当时，即，在上单调递减，
应满足，解得，
此时，故，满足题意，所以；
③当时，不单调，不成立，舍去．
综上，的取值范围为或．