江苏省常州市2023-2024学年高二上学期1月学业水平监测（期末）数学试卷（含答案）

常州市2023-2024学年高二上学期1月学业水平监测（期末）
数学 2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A．11 B．13 C．63 D．78
3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ）
A．13 B．10 C．1 D．13或1
5．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21 B．35 C．36 D．45
6．已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．18 B． C．30 D．33
7．已知圆和圆相交于，两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．点，，过，的直线为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则直线的方程为
B．若，则直线的倾斜角为
C．任意实数，都有
D．存在两个不同的实数，能使直线在，轴上的截距互为相反数
10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有240种排法 B．若甲不排第一个共有480种排法
C．若甲与丙不相邻，共有480种排法 D．若甲在乙的前面，共有360种排法
11．已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（ ）
A． B．的最小值为
C．存在点，使 D．存在，使
12．在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则的最大项为
D．若，则的最小项为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中，各项系数的绝对值之和为__________．
14．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，成等比数列，则__________．
15．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为__________．
16．已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为__________．
四、解答题、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的．
每日平均运动1万步或以上 每日平均运动低于1万步 总计
40岁以上（含40岁） 80
40岁以下
总计 200
（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；
（2）判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）
设是正项数列的前项和，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
19．（12分）
已知椭圆的右焦点为，点在上．
（1）求的方程；
（2）斜率为1的直线与交于，两点，线段的中点为，求点的横坐标的取值范围．
20．（12分）
已知．
（1）求的最大值；
（2）求被13除的余数．
21．（12分）
已知等差数列满足，，数列满足，且．
（1）证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：
（2）将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．
22．（12分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于，两点，连结并延长交于点．
（1）证明：；
（2）当的内切圆半径时，求的取值范围．
常州市2023-2024学年高二上学期1月学业水平监测（期末）
数学参考答案 2024年1月
一、选择题：
1．C 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题：
9．ABD 10．ACD 11．AD 12．AC
三、填空题：
13．64 14．3 15． 16．
四、解答题：
17．解：（1）由已知，40岁以上（含40岁）的人数为，40岁以下的人数为100．每日平均运动低于1万步的人数为．由此得如下列联表：
每日平均运动1万步或以上 每日平均运动低于1万步 总计
40岁以上（含40岁） 80 20 100
40岁以下 40 60 100
总计 120 80 200
（2），
所以有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
18．解：（1）因为，
所以，
所以（常数）．所以是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2），且，所以．
当时，，．
时，不满足上式，所以．
19．解：（1）由已知得椭圆的左右焦点分别为，，
，所以，
所以，所以．
（2）设直线的方程为：，，，
联立消去得：，
所以
由，解得．
因为，所以，
所以点的横坐标的取值范围为．
20．解：（1）因为，
所以，．
所以，，．
令，则，所以的最大值为1792．
（2）因为．
所以被13除的余数，即为被13除的余数为9．
21．解：（1）由，得：，，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以（常数），
所以是等比数列，所以．
（2）由已知：．
．
22．解：（1）设，，，，
，由得：，则
方法一：
，所以．
方法二：设，由得：，
则所以．
又因为，都在抛物线上，所以，关于轴对称，所以．
（2）由（1）可知：的内切圆圆心在轴上，
所以设圆心，，，且，
由得：，则且，
所以，
所以直线，即．
因为，所以，
所以，所以，
因为在上单调减，所以．
所以．