内蒙古包头市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测理科数学试题（含答案）

绝密★启用前 试卷类型：A
包头市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A. B. C.6 D.7
3.为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有600名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，该校高三年级学生体育成绩的中位数为（ ）
A.70 B.70.5 C.71.25 D.72
4.若，满足约束条件则的最大值为（ ）
A.4 B.3 C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6.若，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（ ）
A.4 B. C.2 D.
8.已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，高，其轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.函数为奇函数
D.函数在区间上单调递减
12.若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，满足，，，则______.
14.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
15.从分别写有，，，，的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.
16.已知为锐角三角形，，，是角，，分别所对的边，若，且，则面积的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.（12分）
为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军.积分规则如下：每场比赛5局中以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分.
（1）求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率；
（2）已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6，
①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和；
②记这轮比赛甲所得积分为，求的概率分布列及数学期望.
20.（12分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线和点，点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：在上.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）写出的普通方程，并指出它是什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的极径与极角的正切值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）若，则.
包头市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.D 12.D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.（12分）
解：（1）由条件可得，
将代入，得，而，所以
将代入，得，所以，从而，，
（2）数列是首项为2，公比为3的等比数列
由条件可得，即，
又，所以是首项为2，公比为3的等比数列
（3）由（2）可得，所以.
18.（12分）
解：（1）连接交于点，连接.
在底面中，因为，，
由，可得，
因为，即，所以在中，
，故，因为平面，
平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，由，，
得为等边三角形，所以.
因为，所以，又因为平面，，平面，
所以，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
在等边三角形中，，所以.
则，，，，，
平面的一个法向量为，，，
设平面的法向量为，由，，
得
取，可得，
于是.
所以二面角的正弦值为.
19.（12分）
解：（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率.
（2）①事件与为对立事件，所以，，
②的可能取值为，，，.
；
；
；
.
所以的分布列为
0 1 2 3
0.1792 0.13824 0.20736 0.4752
.
20.（12分）
解：（1）设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为
（2）设点，，，，
则直线的斜率，
同理得直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
从而得.
由消去得，
所以，，
由，得或.
设和的中点分别为，，
则，，
同理，，
所以，即，
所以得.
21.（12分）
解：（1）的定义域为，且.
当时，，在区间单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在区间单调递增；在区间单调递减.
（2）因为时，要证，只需证明.
由（1）知，当时，在区间单调递增，在区间单调递减，
所以.故.
令，则，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，故.
所以当，时，，所以.
22.（10分）
解：（1）因为，，所以，即的普通方程为，
该曲线是以点为顶点，开口向上的抛物线.
（2）因为，所以，所以的普通方程为.
联立，解得或
即交点的直角坐标为和；
设点的极坐标为，则，；
设点的极坐标为，则，.
23.（10分）
证明：（1）因为，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，，均为正数，所以.
（2）因为，由条件可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，此时，解得，
把和，代入，求得，
所以当且仅当，，时，取得等号.