邵阳市名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试
数学试卷
时量:120分钟 满分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知,则( )
A. B. C.9 D.19
2.直线与直线平行,则( )
A. B.1 C.或1 D.3
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知为等差数列的前项和,若,则( )
A.26 B.27 C.28 D.29
5.设函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.14 B.20 C.16 D.48
7.已知等比数列的前项和为,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.,则
10.已知等差数列的前项和为,则( )
A. B.的前项和中最小
C.使时的最大值为9 D.数列的前10项和为
11.已知直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,点为的准线与轴的交点,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.过的焦点的最短弦长为4
C.当时,直线的倾斜角为
D.存在2条直线,使得成立
12.已知边长为2的正方体为中点,为中点,则( )
A.与所成角的正弦值为
B.
C.若平面与平面的交线为,则直线与所成角的余弦值为
D.若在平面内的投影为点,则
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)
13.的二项展开式的常数项为______.
14.若函数,则的值为______.
15.已知直线与圆相交,则当圆截直线所得的弦长最短时,直线的方程为______.
16.若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是______.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知圆的圆心为点,且与坐标轴相切.
(1)求圆的方程;
(2)求直线被圆所截得的弦长.
18.(12分)已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设等比数列满足,求数列的前项和.
19.(12分)四棱锥中,平面,为的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
20.(12分)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,试问:是否存在正整数,使得?若存在,求出满足条件的所有的值;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同,为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线:与椭圆交于两点,直线与的斜率分别为,且,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
22.(12分)已知.
(1)当时,证明:在上单调递增;
(2)若恒成立,求的取值范围.
邵阳市名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D B A C B D ACD BCD AB BD
6.【解析】由间接法得,故选C.
7.【解析】设等比数列的公比为,则,即,解得,
所以,所以,
因为恒成立,即恒成立,即恒成立,
由基本不等式可得,当且仅当,即时等号成立,
所以,即实数的取值范围为.故选B
8.【解析】构造函数,其中,则,
当时,,所以,函数在上单调递增,
因为,则,即,即,所以,,
因为,故,即,即,
因此,.故选D
10.【解析】设等差数列的首项为,公差为,
所以,解得,
所以,
对于A:,故错误;
对于B:,
由二次函数的性质可知,故正确;
对于C:令,解得,所以的最大值为9,故正确;
对于D:因为,所以是首项为,公差为的等差数列,
所以的前10项和为,故正确;故选BCD
11.【解析】由抛物线的定义可得,所以A正确;
当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短,此时弦长为4,所以B正确;
设直线的方程为,联立方程组,整理得,
可得,
当时,,则,
解得,所以倾斜角不是,所以C错误;
由,则,
,
,
,
由,则,可得,
化简可得,
由,则,
将代入,则恒成立,所以D错误.故选AB
12.【详解】如图,以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
依题意可得.
,
,A错误;
B正确;
由图可知,延长到,使得,连接,并取的中点,连接,
可知,即平面与平面为同一平面;
连接,可知四边形为平行四边形,即平面与平面为同一平面;
又因为点既在平面内又在平面内
所以平面与平面的交线为,
为的中点,,故,
,C错误;
三棱锥为正三棱锥.
在平面内的投影为点为的中心,
故,
,D正确.故选BD
13.20
14.【解析】因为,令,则,
所以,则
15.
【解析】由题意得恒过点.
圆的标准方程为,
所以圆心,且,可知点在圆内.
由直线与圆的几何性质知,当时,所截得弦长最短,
此时.即,
所以直线的方程为.
16、【解析】的定义域是,
,
存在极值,在上有根,
即方程在上有根.
设方程的两根为,
,即
故函数的极值之和的取值范围是
17.【解析】(1)圆的圆心为点,且与坐标轴相切,
圆的半径为圆的方程为.
(2)圆的圆心,
圆心到直线的距离为.所求的弦长为.
18.【解析】(1)因为是等差数列,设数列的公差为,
由,得,
解得,所以.
(2)因为,
是等比数列,则的公比所以,
所以数列的前项和.
19.【解析】(1)因为平面,平面,
所以.因为平面,
所以平面,又平面,所以.
又因为,所以,即.
因为平面,所以平面.
(2)由(1)得为的中点,所以.
以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,过点作的平行线为轴,建
立空间直角坐标系,则,
.
设平面的法向量为.
由得,
令,则,即.
由(1)知平面的一个法向量为,
所以.所以二面角的正弦值为.
20.【解析】(1),①
当时,;
当时,,②
由①-②得,.
当时,符合,.
(2)存在.
由(1)知,
.
令,得.
的可能值为,即的值为,对应的的值为,
存在正整数,使得.
因此满足条件的所有的值为或或
21.【解析】(1)由抛物线的方程得其焦点为,所以椭圆中,
当点为椭圆的短轴端点时,面积最大,此时,
所以,则,所以椭圆的方程为;
(2)依题意,直线:,其中,
联立,消去,得,
则,得,
设,则,
又,整理得,
即,化简得,
所以直线的方程为,因此直线恒过定点,该定点坐标为.
22.【解析】(1)当时,,
令,
则,当且仅当时取等号,
当时,是增函数,
,即在上单调递增.
(2)定义域为,
是偶函数,
若恒成立,则只需考虑在恒成立.
当时,,符合题意;
当时,,由(1)知,在上单调递增,
则当时,,符合题意;
当时,,
令,则,
当时,,
当时,单调递增,则,
,则在上单调递增,,符合题意;
当时,,
当时,单调递减,则,
,则在上单调递增,,符合题意;
当时,令,,
当时,,则,则在上单调递增,
,
则存在,使得成立,
当时,,即单调递减,,
,则在上单调递减,
,不符合题意,
综上可知,的取值范围是.