湖南省邵阳市名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案）

邵阳市名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试
数学试卷
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，则（ ）
A． B． C．9 D．19
2．直线与直线平行，则（ ）
A． B．1 C．或1 D．3
3．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
5．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．48
7．已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．，则
10．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．使时的最大值为9 D．数列的前10项和为
11．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为的准线与轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．过的焦点的最短弦长为4
C．当时，直线的倾斜角为
D．存在2条直线，使得成立
12．已知边长为2的正方体为中点，为中点，则（ ）
A．与所成角的正弦值为
B．
C．若平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为
D．若在平面内的投影为点，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）
13．的二项展开式的常数项为______．
14．若函数，则的值为______．
15．已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为______．
16．若函数有极值，则函数的极值之和的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知圆的圆心为点，且与坐标轴相切．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆所截得的弦长．
18．（12分）已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等比数列满足，求数列的前项和．
19．（12分）四棱锥中，平面，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，试问：是否存在正整数，使得？若存在，求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设不过原点的直线：与椭圆交于两点，直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22．（12分）已知．
（1）当时，证明：在上单调递增；
（2）若恒成立，求的取值范围．
邵阳市名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D B A C B D ACD BCD AB BD
6．【解析】由间接法得，故选C．
7．【解析】设等比数列的公比为，则，即，解得，
所以，所以，
因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围为．故选B
8．【解析】构造函数，其中，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
因为，则，即，即，所以，，
因为，故，即，即，
因此，．故选D
10．【解析】设等差数列的首项为，公差为，
所以，解得，
所以，
对于A：，故错误；
对于B：，
由二次函数的性质可知，故正确；
对于C：令，解得，所以的最大值为9，故正确；
对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以的前10项和为，故正确；故选BCD
11．【解析】由抛物线的定义可得，所以A正确；
当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B正确；
设直线的方程为，联立方程组，整理得，
可得，
当时，，则，
解得，所以倾斜角不是，所以C错误；
由，则，
，
，
，
由，则，可得，
化简可得，
由，则，
将代入，则恒成立，所以D错误．故选AB
12．【详解】如图，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
依题意可得．
，
，A错误；
B正确；
由图可知，延长到，使得，连接，并取的中点，连接，
可知，即平面与平面为同一平面；
连接，可知四边形为平行四边形，即平面与平面为同一平面；
又因为点既在平面内又在平面内
所以平面与平面的交线为，
为的中点，，故，
，C错误；
三棱锥为正三棱锥．
在平面内的投影为点为的中心，
故，
，D正确．故选BD
13．20
14．【解析】因为，令，则，
所以，则
15．
【解析】由题意得恒过点．
圆的标准方程为，
所以圆心，且，可知点在圆内．
由直线与圆的几何性质知，当时，所截得弦长最短，
此时．即，
所以直线的方程为．
16、【解析】的定义域是，
，
存在极值，在上有根，
即方程在上有根．
设方程的两根为，
，即
故函数的极值之和的取值范围是
17．【解析】（1）圆的圆心为点，且与坐标轴相切，
圆的半径为圆的方程为．
（2）圆的圆心，
圆心到直线的距离为．所求的弦长为．
18．【解析】（1）因为是等差数列，设数列的公差为，
由，得，
解得，所以．
（2）因为，
是等比数列，则的公比所以，
所以数列的前项和．
19．【解析】（1）因为平面，平面，
所以．因为平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，所以，即．
因为平面，所以平面．
（2）由（1）得为的中点，所以．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点作的平行线为轴，建
立空间直角坐标系，则，
．
设平面的法向量为．
由得，
令，则，即．
由（1）知平面的一个法向量为，
所以．所以二面角的正弦值为．
20．【解析】（1），①
当时，；
当时，，②
由①－②得，．
当时，符合，．
（2）存在．
由（1）知，
．
令，得．
的可能值为，即的值为，对应的的值为，
存在正整数，使得．
因此满足条件的所有的值为或或
21．【解析】（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，
当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，
所以，则，所以椭圆的方程为；
（2）依题意，直线：，其中，
联立，消去，得，
则，得，
设，则，
又，整理得，
即，化简得，
所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为．
22．【解析】（1）当时，，
令，
则，当且仅当时取等号，
当时，是增函数，
，即在上单调递增．
（2）定义域为，
是偶函数，
若恒成立，则只需考虑在恒成立．
当时，，符合题意；
当时，，由（1）知，在上单调递增，
则当时，，符合题意；
当时，，
令，则，
当时，，
当时，单调递增，则，
，则在上单调递增，，符合题意；
当时，，
当时，单调递减，则，
，则在上单调递增，，符合题意；
当时，令，，
当时，，则，则在上单调递增，
，
则存在，使得成立，
当时，，即单调递减，，
，则在上单调递减，
，不符合题意，
综上可知，的取值范围是．