青海省西宁市2023-2024学年高二上学期期末联考测试数学试题(含解析)

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名称 青海省西宁市2023-2024学年高二上学期期末联考测试数学试题(含解析)
格式 docx
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-02-02 10:58:01

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文档简介

西宁市普通高中2023—2024学年第一学期期末联考测试卷
高二年级数学学科试卷
满分:150分考试 时长:120分钟
一 单选题(共40分)
1.过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.如图,在平行六面体中,,点在上,且,则( )
A. B.
C. D.
3.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直,则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中,,则( )
A.24 B.48 C.20 D.16
5.在平面直角坐标系中,原点到直线与的交点的距离为( )
A. B. C. D.
6.若直线和直线间的距离为,则( )
A.-3或3 B.-1或1 C.-3或1 D.-1或3
7.若直线与直线相交,且交点在第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点(点在第一象限),点为抛物线的焦点,若,则( )
A. B. C. D.
二 多项选择题(共20分)
9.已知椭圆的左 右焦点分别为,点为椭圆上一动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的离心率为
B.的最大值为6
C.的周长为10
D.存在点,使得为等边三角形
10.在空间直角坐标系中,设分别是异面直线的两个方向向量,分别是平面的两个法向量,若,下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知等比数列的前项和为,公比为,则下列选项中错误的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
12.已知圆,圆,则下列说法正确的是( )
A.若点在圆的内部,则
B.若,则圆的公共弦所在的直线方程是
C.若圆外切,则
D.过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程是
三 填空题(共20分)
13.若直线是圆的一条对称轴,则__________.
14.知,空间向量.若,则__________.
15.已知抛物线的焦点为为上一点,则的最小值为__________.
16.任意,有,若,则__________.
四 解答题(共70分,17题10分,18-22题各12分)
17.已知圆过点和.
(1)求圆的方程;
(2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程.
18.在棱长为2的正方体中,点是的中点,点是中点.
(1)证明:平面;
(2)求到面的距离
19.已知等差数列的前项和为.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求.
20.已知是椭圆的两个焦点,为上一点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为上一点,且,求的面积.
21.如图,在五面体中,平面为的中点,.
(1)求异面直线与所成的角的大小;
(2)求二面角的余弦值.
22.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过四点中的两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,在第一象限,在第四象限,且,求的值.
参考答案
1.C
【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率,由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.
【详解】因为直线的斜率为1,由题意,所求直线的斜率为-1,
又直线过点,所以由点斜式方程可知直线的方程为:,
即,
故选:C
2.C
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】因为,所以,
则有:
故选:
C.
3.C
【分析】根据双曲线离心率求得,再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出,求解.
【详解】,所以,得渐近线为,
因为其中一条渐近线与直线垂直,则,得.
故选:C
4.A
【分析】利用等差中项性质得到,然后即可求解.
【详解】因为数列为等差数列,
因为,得,所以,
所以,故A项正确.
故选:A.
5.C
【分析】先求解出的交点坐标,然后根据点到点的距离公式求解出结果.
【详解】因为,所以,所以交点坐标为,
所以原点到交点的距离为,
故选:C.
6.D
【详解】由平行线之间的距离公式有:,
求解关于实数的方程可得:或.
本题选择选项.
7.C
【详解】联立方程得交点,由交点在第一象限知:解得,即是锐角,故,选C.
8.C
【分析】设点,根据拋物线的定义即可根据求得,求解直线方程,将直线方程与抛物线的方程联立,求出,由抛物线的定义可求得的值.
【详解】易知点,设点,其中,
由于,所以,
将代入得,
故直线的斜率为,故其方程为,
联立,可得,解得,
所以
由抛物线的定义可得.
故选:C
9.ABD
【分析】根据椭圆的方程确定,即可判断选项;当点在短轴端点时有,判断与是否相等,即可判断选项D.
【详解】由椭圆,可得,则,
对于选项,椭圆的离心率,故A正确;
对于选项,当点为椭圆的右顶点时,可得,故B正确;
对于选项的周长为,故错误;
对于选项D,当点为椭圆的短轴的端点时,可得,此时为等边三角形,故D正确.
10.BD
【分析】根据给定条件,利用空间向量的运算,即可证明判断位置关系.
【详解】对于与既不平行也不垂直,
因此直线与平面不垂直,故A错误;
对于,所以,故B正确;
对于C,,所以与不平行,
所以平面与平面不平行,故C错误;
对于,
即平面与平面垂直,故D正确.
故选:BD.
11.ACD
【分析】对选项,根据等比数列等距片段的性质即可得;对B选项,计算出与即可得到;对C选项,借助,计算出与后再计算即可得到;对选项,直接计算即可得到.
【详解】对A选项:由等比数列等距片段的性质有,
即,解得,故A错误;
对B选项:,
,即,故B正确;
对选项:由,又,解得或,
当时,即,解得,故,故C错误;
对选项:由,有,即,故或,故D错误.
故选:ACD.
12.BCD
【分析】求点到圆心的距离与半径的关系即可判断A;将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可判断B;利用圆与圆外切,由圆心距和两半径之和相等即可判断;由圆上两点切点所在直线,实质为为直径的圆与圆的公共弦,即可判断.
【详解】由题,圆为:,圆心
圆为:,圆心;
对于A:由点在圆内,得:,解得:,故A项错误;
对于B:若,则圆,将圆与圆相减得到公共弦所在直线方程:,故B项正确;
对于C:两圆外切,则,即:,解得:,故C项正确;
对于D:点在圆外,则得切点所在的直线为以为直径的圆与圆的公共弦,圆圆心,,方程为:,
将圆与圆相减得:,故项正确.
故选:BCD.
13.-1
【分析】将问题转化为直线过圆心,从而得解.
【详解】圆的圆心坐标为,
因为直线是圆的一条对称轴,所以圆心在此直线上,
所以,解得.
故答案为:-1.
14.1
【分析】根据,从而可求出,即可求解.
【详解】因为,所以,即,得.
故答案为:1.
15.5
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】过作准线的垂线,垂足为,则,
显然点在抛物线内,则当三点共线时,最小,其最小值为.
16.
【分析】根据条件构造等差数列,求得公差,根据等差数列的通项公式即可求得答案.
【详解】因为任意,有,
故,
又,故,
当取正整数时,令,则,
即数列是以为首项,以为公差的等差数列,
故,
即,
故答案为:-9
17.(1)
(2)或
【分析】(1)假设圆的一般方程,代入即可得到圆的方程.
(2)先求出直线的方程,进而设出与垂直的直线的方程,求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程.
【详解】(1)设圆的一般方程为:,
分别代入点和.
,解得
故圆的方程为:.
(2)因为
所以直线的方程为:,
故设直线的方程为:.
由题意可知,圆心,
被圆截得弦长等于
则可知到直线与直线的距离相等.
故有,
解得或
所以直线的方程:或
18.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用线面垂直时,直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可;
(2)利用空间向量,根据点到平面的距离公式求解即可.
【详解】(1)以为原点,直线,,所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,,,
则,,,
设平面的一个法向量为,
则,取,则,,
所以,
又因为,所以,
所以平面.
(2)由(1)知平面的法向量为,
又因为,
所以到面的距离为.
19.(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件列出关于的方程组并求解,结合等差数列的通项公式可得答案;
(2)利用裂项相消法可求得结果.
【详解】(1)设的公差为,
由已知得解得.
故.
(2),
所以
.
20.(1)
(2)
【分析】(1)根据焦距求出,再根据在椭圆上,求出,可得,由,求出,得到椭圆的标准方程;
(2)利用余弦定理和面积公式求解.
【详解】(1)由是椭圆的焦点,
且,则,
因为点在椭圆上,所以

由,则由,
所以椭圆的标准方程:
(2)因为在椭圆上,所以,
又,
所以,
所以,
所以.
21.(1)
(2)
【分析】(1)以点为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可;
(2)利用向量法计算即可.
【详解】(1)如图,以点为原点建立空间直角坐标系,
不妨设,
则,
故,
则,
即异面直线与所成的角余弦值为,
所以异面直线与所成的角的大小为;
(2),
则,
设平面的法向量为,
则有,可取,
因为轴垂直平面,
则可取平面的法向量为,

所以二面角的余弦值为.
22.(1)
(2)
【分析】(1)根据抛物线的对称性,利用代入法进行求解即可;
(2)设出直线,
根据直线与抛物线的位置关系得到,再结合题目条件
利用平面向量共线的性质转化,可得到,从而解出.
【详解】(1)由抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴可知,
点和点不可能同时在扰物线上,
点和点不可能同时在抛物线上,
点和点不可能同时在拋物线上,
点和点也不可能同时在抛物线上,
两点分别位于第二 四象限,这样的抛物线不存在,
所以抛物线只能过,根据两点位置可设,
代入点,则,得,
所以,抛物线过点,满足题意.
综上,拋物线的方程为.
(2)设直线,
根据题意可知:,且,
联立,得,则,
同理联立,得,则,
由得,即,
所以,
即,整理得,
又因为,所以,
由,得,
联立,所以,
故.
【点睛】关键点睛:本题的关键是由得到平面向量表达式.
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