湖北省襄阳市、黄石市、宜昌市、黄冈市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含答案）

襄阳市、黄石市、宜昌市、黄冈市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考
数 学
2024.1
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（每小题5分，共8小题40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量．若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．将一个顶角为的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示．已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．设与是两条不同的直线，，则“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项分别为：，则该数列的第11项为（ ）
A．190 B．192 C．194 D．196
8．已知球的直径是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ）
A． B． C． D．
10．已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次出现的点数小于5”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立
C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立
12．已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设分别是椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且，则______．
14．设样本空间含有等可能的样本点，且，我们很容易发现：事件三个事件两两独立，则______．
15．抛物线的焦点为，准线为是上的一点，点在上，若，且，则______．
16．如图所示，在平行四边形中，为中点，．沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面．设为内的动点，若，则的轨迹的长度为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知直线与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为．
（1）求直线的方程（结果用一般式表示）；
（2）求圆的标准方程．
18．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
（1）若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
（2）设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
19．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）由构成的阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和．
20．（本小题满分12分）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，……，以此类推，记事件表示从第个盒子里取出白球，设事件发生的概率为．
（1）求；
（2）求．
21．（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，，且二面角为直二面角．
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点，且的面积，若为线段的中点．点在轴上投影为，问：在轴上是否存在两个定点，使得为定值，若存在求出的坐标；若不存在，请说明理由．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共40分
1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7. B 8. A
7.【解析】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第11项为.故选：B
8. 【解析】，且为直径，从而可得是边长为1的正三角形，球心到面的距离为，点到面的距离为，从而体积为．
二、选择题：每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9. AD 10. CD 11. ABD 12.AD
10. 【解析】 圆，关于轴对称的圆为圆，
则的最小值为，又，故选：CD.
11. 【解析】 对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确；对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D：P(A)=,P(C)=,P(AC)=,∴P(AC)=P(A)P(C),即与相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.故选：ABD.
12. 【解析】 依题意，双曲线C的左焦点F即为F，从而双曲线C的方程为，A正确，双曲线C的渐近线方程为，B不正确，F点到双曲线C的渐近线距离为1，C不正确，不妨设P ，则有，D正确.
三、填空题：
13. 6 14. 2 15. 5 16.
15. 【解析】由抛物线C：知,准线方程为，，则，从而由三角形相似可得，也可分情况求出点坐标再计算得.
16. 【解析】由平面A′DE⊥平面BCDE可得AB⊥平面A′DE，进而可得BE⊥DP，CD⊥DP，
又因为E为AB中点，且AB＝CD，所以PD＝2PE，由∠EPB＝∠DPC知tan∠EPB＝tan∠DPC，则点P的轨迹是△A′DE内到D，E两点距离之比为2的阿氏圆的一部分.在Rt△A ED平面内建立直角坐标系，从而可得P的轨迹的长度为.
四、解答题：
17. （1）在直线方程中，令，得
令，得
故 又 故
∴所求直线方程为：
（2）设所求圆的标准方程为：
由题可知联立求解得：
故所求圆的标准方程为： 或
注：结果没有按要求写出直线方程一般式或圆的标准式合计扣1分
18. （1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为，
与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意，
当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为，
代入抛物线方程化简得：，
，即，直线方程即为
（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为，
由，消去，得，
因为与抛物线C相切，所以，
即.
又因为，是方程的两根，则有，
由 ，可得，即
从而点在直线上，
19. （1）因为，当时，即，
当时，所以，即，
经检验当时也成立，所以，
则.
（2）由数阵可知
，
因为，，
所以.
20. （1）依题意，，则，
从而，
，
（2）依题意，，
进而可得，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
从而有，即
21. （1）因二面角为直二面角，即平面平面，又，
平面平面，则平面，
即，而，，于是平面，平面，
所以平面平面；
（2）过E作平面，由(1)知，以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
∵，则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，即
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
由图可知二面角为锐二面角，
从而有，
而，所以
22. （1）由题可知，
解之得：， 故椭圆的标准方程为：
（2）设直线的方程为 ,代入椭圆方程，消去得：,若设，
则
此时
又点到直线的距离：，
∴，∴
假设存在符合题意的两个定点，
∵ ∴，.又
故当，即时，为定值.
故存在两点满足题意.