四川省攀枝花市普通高中2023-2024学年高二上学期教学质量监测数学试题卷（含解析）

四川省攀枝花市普通高中2023-2024学年高二上学期教学质量监测数学试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
3．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）
A．32 B．16 C．4 D．2
5．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．或6
7．随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
二、多选题
9．某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A． B．与是互斥事件
C． D．与是互斥事件，且是对立事件
10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆的内部，则
B．若圆，外切，则
C．圆上的点到直线的最短距离为1
D．过点作圆的切线，则的方程是或
11．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使 B．存在点，使
C．四面体的体积为定值 D．点到直线的距离为
12．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为
C．直线的方程为 D．的周长为
三、填空题
13．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 .
14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知个人能破译的概率分别是和，则恰好有一人成功破译的概率为 .
15．已知数列满足，则数列的通项公式为 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为．且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若．则 ， ．
四、解答题
17．设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知圆心在直线上的圆经过，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
19．如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，且，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知数列的前项和为.数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)设，求数列的前项和.
21．如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面.
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
22．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义即可求解.
【详解】由直线，得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．D
【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故A错误；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：当A、B独立时，，
当A、B不独立时，则不成立，故C错误；
对于D：若，则，故D正确.
故选：D
3．A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，求得，结合，即可求解.
【详解】由公比为2的等比数列的各项都是正数，且，
根据等比数列的性质，可得，所以，则.
故选：D.
5．B
【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.
【详解】由题意.
故选：B.
6．B
【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.
【详解】直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
①当时，：，：，，符合题意；
②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，
故，
故选：B
7．C
【分析】计算基本事件总数，利用列举法得到两个骰子的点数之和是4的倍数的基本事件个数，由此能求出得到所示概率.
【详解】随机抛掷两枚均匀骰子，观察得到的点数，基本事件总数，
所得点数之和是4的倍数为事件B，
则事件B的结果有共9种，
所求的概率为.
故选：C
8．B
【分析】根据已知条件设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系，结合向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可求解.
【详解】由题意可知，直线的斜率不可能为0，设直线的方程为，
由，消去，得
设，则，
所以.
因为，
所以，解得，
当且仅当即时，取的最小值为,
所以的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系及向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可.
9．AD
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶” “ 两次都没有中靶”；
事件为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶”；
事件为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都没有中靶”；
事件为“两次都没中靶”；
故，与不是互斥事件，与是互斥事件，且是对立事件，.
故选:：AD.
10．BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知B正确；利用点到直线的距离公式及直径是圆中最长的弦即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，因为，则的方程恒表示圆，
由点在圆的内部，得，解得，故A错误；
对于B，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆，外切，则，即，解得，故B正确；
对于C，由圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最短距离为，故C正确；
对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离为，解得，
所以的方程是，综上，的方程是或，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，判断是否共线即可；对于B，由即可判断；对于C，将问题转换为四面体即三棱锥的体积即可判断；对于D，，且满足，由求得参数，结合模长公式即可进一步得解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：
设，
，
对于A，，而，所以不可能平行，故A错误；
对于B，，若，
则，解得，即当重合时，有，故B正确；
对于C，由题意过作交于点，
因为面，所以面，
所以为三棱锥的高，
又三棱锥的底面积为，，
所以四面体即三棱锥的体积为，故C正确；
对于D，设，且满足，
而，
所以，解得，
所以，所以点到直线的距离为，故D错误.
故选：BC.
12．ACD
【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确.
【详解】如图：
由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且，
故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为，
故，，所以，，
所以椭圆的方程为：，故A正确；
椭圆的离心率为：，故B错误；
直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，
设，，则，.
由点差法得：，所以，
所以，即，
所以直线的方程为：，即，故C正确；
由于直线：过椭圆的上焦点，
所以的周长为，故D正确。
故选：ACD.
13．2
【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可.
【详解】由题设及抛物线定义知：且.
故答案为：
14．
【分析】利用互斥事件概率的加法公式和独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】设甲能独立地破译一份密码的事件为,乙能独立地破译一份密码的事件为,则,
所以.
所以恰好有一人成功破译的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.
【详解】因为，
所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】根据可得，，由此可得；假设在第一象限，由求出，，根据余弦定理得，将，代入可得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】在椭圆中，因为上顶点为．且，所以，
所以，所以，所以.
设双曲线方程为，假设点在第一象限，
则由得，，
在中，由余弦定理得，
所以，
整理得，得，
所以，所以，解得.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
（2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意得，解得.
故数列的通项公式是
（2）由（1）知，.
所以
.
18．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径,结合圆的标准方程即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程注意斜率讨论斜率的存在性，利用点到直线的距离公式及弦长、半径、弦心距三者之间的关系即可求解.
【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示
，，的中点为.
的垂直平分线为，即
由解得，
故圆心为，半径.
圆的标准方程为.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为
当直线斜率存在时，设直线方程为，即.
，
圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意取的中点，连接，.证明，结合线面平行的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面法向量，由线面角的正弦公式即可得解.
【详解】（1）
由，得，.
取的中点，连接，.
由为中点知，.
又，故，
所以四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连结，由得，
从而.且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知，，，，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则，可取，
故直线与平面所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用与的关系即可求解；
（2）利用倒数法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论，求出，利用数列求和中的分组求和法、等差数列的前项和公式及错位相减法即可求解
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，依然成立，
所以的通项公式是.
（2）由，得，
.
又.
故是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.
（3）由（1）（2）知，，
则
.
令①，
②，
①－②得，，
，
，
.
21．(1)证明见解析
(2)点为线段的靠近的三等分点
【分析】（1）利用梯形的性质及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理即可求解；
（2）利用线线角的定义，根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角与线面角的关系即可求解.
【详解】（1）因为四边形为梯形，，，，
所以，，则，即
又因为平面，面ABCD，所以.
因为、都在平面内，，
所以面.
（2）取中点，连结，，由，知，
由（1）知，共面且不共线，所以，
故直线与所成角为.
由平面，面ABCD，所以，又，
在面内，且，故面，
所以面，面，则，
在中，，，所以，
在，易得，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示，
则，，，
，，
设为平面的法向量，则
，即，取，则.
所以
由题可知，是平面的一个法向量，
所以.
因为，解得或（舍去）.
当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
22．(1)
(2)12
【分析】（1）利用待定系数法及双曲线的定义，结合双曲线中三者的关系即可求解；
（2）设直线方程为，，，直线方程与双曲线方程联立，利用应用韦达定理得由 求得的范围，由坐标求得三角形面积并代入韦达定理的结论化为关于的函数，换元并利用函数的单调性得面积最小值．
【详解】（1）法一：设双曲线的标准方程为
由题知：，故其左右焦点分别为，.
由，解得.
从而，
双曲线的标准方程为.
法二：设双曲线方程为，
由题知：得到.
又，得到.
得到，解得（舍）或，
双曲线的标准方程为.
（2）由题意，设作出图形如图所示，
显然直线与轴不垂直，设，，
联立
故，.
由于，均在双曲线右支上，
故，即，解得.
由双曲线的对称性知的中点为，
故
，
代入韦达定理得
令，则
易知随的增大而减小，
当时，.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页