马街中学高2021级高三上期期末考试
理科数学参考答案
1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．A 7．B 8．D 9．A 10．A 11．B 12．A
13．-80 14． 15． 16．1176
17．（1）解：∵，①当时，，∴
当时，，②由①-②得：
∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴
（2）解：由（1）得
∴
18．(1)证明: 如图，在平行四边形中，连接，
因为，，，
由余弦定理得，，得，
所以，
所以，即.
又，所以，
因为，，
所以，所以，
又，所以平面，所以.
(2)解:因为侧面底面，，所以底面，所以直线，，两两互相垂直，以为原点，直线，，为坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,，，，所以，，.
设，则，，
所以，易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，由得，
令，得.
因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
所以，
即，所以，解得，
所以.即当时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.
19．解：（1）由题意得.
（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，而 ，
∴ξ的概率分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
∴=.
20．（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
故点的轨迹方程式
（2）设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.
21．解：(1) 当时，，，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，函数无极大值．
(2)由，，
若，则，函数单调递增，当x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时，；当时，．故不满足条件．
若，恒成立，满足条件．
若，由，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，由得，解得．
综上，满足恒成立时实数a的取值范围是．
(3)由(Ⅱ)知，当时，恒成立，所以恒成立，
即，所以，令()，得，
则有，
所以，所以，即．
22．解：（1）由题意知，曲线的普通方程为，
∵ ，，
∴ 曲线C的极坐标方程为即.
∵ ，∴ ，∵ ，∴ .
（2）由题意，易知直线的普通方程为，
∴ 直线的极坐标方程为.
又射线的极坐标方程为（），
联立方程得，解得.所以点的极坐标为，
所以.
23．解：（1）因为函数的定义域为R，
所以，当时恒成立，即当时，不等式恒成立，
因此只需，
因为，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
所以，因此，所以实数的取值范围为；
（2）.
当时，；
当时，，显然成立，所以；
当时，，
综上所述：不等式的解集为：马街中学高2021级高三上期期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则的虚部为
A．1 B． C．－1 D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．已知，，则
A． B． C． D．
4．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则
A． B． C． D．
5．已知平面向量的夹角为，且，则
A．64 B．36 C．8 D．6
6．已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为
A． B． C． D．
7．设函数，则＝
A． B． C． D．10
8．若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
9．设，有下面两个命题：，；：，，则下面命题中真命题是
A． B． C． D．
10．已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为
A．3 B． C．2 D．
11．已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为
A．3 B． C． D．4
12．函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是
A．{1} B．(－1，1) C．(0. 1) D．{－1，1}
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则 ．
14．若函数的定义域和值域都是，则 ．
15．四边形中，，，，，则的最大值为 ．
16．已知数列共16项，且，记关于x的函数，，若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为15，则满足条件的数列的个数 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．设数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面平行四边形，，,，为的中点，点在线段上.
(1)求证：；
(2)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.
19．剑门关华侨城2018首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率是，现将这4盏灯依次记为，，，.并令，设，当这些装饰灯闪烁一次时.
（1）求的概率.
（2）求的概率分布列及的数学期望.
20．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(1)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(2)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
21．已知函数（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：对任意正整数n，都有．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线 的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．
（1）求的值；
（2）若射线与直线相交于点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，函数的定义域为R.
（1）求实数的取值范围；
（2）求解不等式.
