马街中学高2021级高三上期期末考试
文科数学参考答案
1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．A 7．B 8．D 9．C 10．D 11．A 12．A
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）由题意得：，
所以回归直线方程为；
（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，
任取2个有有10个结果，
恰好有1次不超过3吨的有：共6种
所以所求的概率为
18．（1）解：∵，①当时，，∴
当时，，②由①-②得：
∴∴是以为首项，公比为的等比数列
∴
（2）解：由（1）得
∴
19．（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以.
因为是菱形，所以.因为，所以是正三角形，
所以，而，所以平面.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由，知.
所以，，
.
因此，等价于，所以，.
即存在满足的点，使得，此时.
20．（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
故点的轨迹方程式
（2）设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.
21．解：（1）当时，，因，，
令，求导得，即函数在上单调递减，
，，因此，当时，恒成立，
所以当时，恒成立.
（2）依题意，，由，得，显然是函数的一个零点，
因函数在R上有三个零点，则有两个都不是0的零点，
，当时，，函数在上单调递减，此时，在上最多一个零点，不符合题意，
当时，在上单调递减，，则当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，
要有两个零点，必有，即，得，
因，则存在，使得，即函数在上有一个零点，
令，，求导得：，令，，
则函数在上单调递增，，，因此，函数在上单调递增，
，，即在时，恒成立，当时，在时恒有成立，
因此，，，令，
则，
于是得，则存在，使得，
即函数在上有一个零点，因此在上有一个零点，
从而得，当时，在上有两个零点，即函数在R上有三个零点，
所以实数a的取值范围是.
22．解：（1）由题意知，曲线的普通方程为，
∵ ，，
∴ 曲线C的极坐标方程为即.
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ .
（2）由题意，易知直线的普通方程为，
∴ 直线的极坐标方程为.
又射线的极坐标方程为（），
联立方程得，解得.
所以点的极坐标为，
所以.
23．解：（1）因为函数的定义域为R，
所以，当时恒成立，即当时，不等式恒成立，
因此只需，
因为，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
所以，因此，所以实数的取值范围为；
（2）.
当时，；
当时，，显然成立，所以；
当时，，
综上所述：不等式的解集为：马街中学高2021级高三上期期末考试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则的虚部为
A．1 B． C．－1 D．
2．若，，则集合，的关系是
A． B．
C． D．
3．已知，，则
A． B． C． D．
4．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则
A． B． C． D．
5．已知平面向量的夹角为，且，则
A．64 B．36 C．8 D．6
6．已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为
A． B． C． D．
7．设函数，则＝
A． B． C． D．10
8．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．已知函数，则
A．它的最小值为 B．它的最大值为2
C．它的图象关于直线对称 D．它的图象关于点对称
10．已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为
A．24 B．33 C．9 D．18
11．已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为
A．3 B． C．2 D．
12．函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是
A．{1} B．(－1，1) C．(0. 1) D．{－1，1}
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的图象在处的切线方程为 ．
14．若函数的定义域和值域都是，则 ．
15．四边形中，，，，，则的最大值为 ．
16．设双曲线的半焦距为,直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线的距离为,双曲线的离心率为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：
x/吨 2 3 4 5 6 8 9 11
y/天 1 2 3 3 4 5 6 8
（1）根据上述提供的数据，求出关于的回归方程；
（2）在该商品进货量不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量恰好有1个值不超过3吨的概率.
参考数据和公式：，
18．（12分）设数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
19．（12分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(1)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(2)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
21．（12分）已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)若，证明：当时，恒成立；
(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线 的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．
（1）求的值；
（2）若射线与直线相交于点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，函数的定义域为R.
（1）求实数的取值范围；
（2）求解不等式.
