福州八中2023-2024学年第一学期期末考试
高二数学
沙试附间，120分帥
试卷澌分：150分
2024.01.30
一、
中项边郝恩：本大愿共8小恩，：小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一期是符合思目要求的，
1在$岩数列{a}中，若a,a1,a+n,a10,则a0=
A、38
、B、39
C.40
D.41
2。若弛物惑22公(P>0的热点与圆。+上=1的一个焦点狐合，则该抛物线的准线方程
为
A.x=-1
B.x=1
C.x=2
D.x=-2
3.若圆C1x2+y-1与圆C2:x2+y2.8x-6y+m-0内切，则m=
A.-11
B.9
C-9
D.25
4.在平面直角坐标系xO中，若曲线y=心+白(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点
P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则
A.a=-1,b=2B.a=1,b=2
.C.a=-1,b=-2
D.a=1,b=-2
5已知双简线c号茶la>0>0的左、右焦点分别为R,人，一条渐近线为1，过点5且与1
平行的直线交双曲线C于点M,若M=3M,则双曲线C的离心率为
A.2
B.√5
C:5
D.3
6.
已知函数f(x)=(2-x)e-am在(0，S)上为减函数，则a的取值范围是
A.（-o,5e)
B:[1,+0)
C.（L,to)
D.[5c,+o)
7如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三
角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操
作以上做法，得到的集合为尔宾斯基三角形.设A,是第n次挖去的小正三角形面积之和（如A
是第1次挖去的中间小正三角形面积，是第2次挖去的三个小正三角形面积之和)，则
5
A.=
64
B.An是等差数列
边长为1的厥$边三拍形
第一次
第二次
高二数学期末考试卷第1页共4页
c4-)
D.前次挖去的所有小正三角形面积之和为
-)
8.己知函数f=1,直线：y=a2x-1),若有且仅有一个整数6，使得点P(,(》在直
线I上方，则实数a的取值范围是
In3 In2
ln3血21
A.[In2,In3)
B.(n2,lh3]
15’6
15'6
二、多项选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.己知C:2+y2-6x=0,则下述正确的是
￡.圆C的半径r=3
B.点1,2W2)在圆C的内部
C.直线：x+V5y+3=0与圆C相切
D:圆C':(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.已知数列{a}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是
A、若Sn=22+1,则{a}是等差数列
B.若8，=
-1,则{a}是等比数列
C.号{an}是等差数列，则S9=199amD.若{an}是等比数列，则S9·So1>S
已责，民分别为精题C:学芳-a>0和双腊线兰-关
话=1(%>0,4>0)的公共左，
右焦点，P(在第一象限)为它们的一个交点，且∠RPF,=60°，直线PF2与双曲线交于另一点
2,若P=2F,则下列说法正确的是
A。△P32的周长为19
B.双曲线的离心率为
C.椭圆C的离心率为
5
D.PR =4PR
12,已知a>0,b>0且e°+lnb>4+b,则下列结论一定正确的是
A.a>b
Be°>b
C.e+b>2
D、a+lnb>0福州八中 2023-2024 学年第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. B 2．D 3. A 4．C 5. C 6．B 7. D 8. C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. ACD 10． BC 11． BCD 12． BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
1
13. 0 或 14． 1 15. 2 16. ( - 1,2)
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10 分）
3
【解】（1）因为 g (x) = 6ln x x3 + (4a 9) x + f (x) = 6ln x + x2 9x + 2，
2
6 3(x 1)(x 2
且定义域为 (
)
0,+ )，所以 g (x) = +3x 9 = (x 0)．……2 分
x x
令 ′( ) > 0，得0 < < 1 或 > 2．
所以 g (x)的单调递增区间为(0 , 1) ，(2 , +∞ )．……4 分
3 3 2
（2）因为 f (x) = x + x2 4ax + 2，所以 f (x) = 3x +3x 4a ，……5 分
2
又因为 f (x)有两个都小于 0 的极值点，
所以3x2 +3x 4a = 0有两个不相等的负数根 x1, x2 ，
Δ = 9 4 3 ( 4a) 0
3x1 + x2 = 0所以 3 ， ……8 分
4a
x1x2 = 0
3
3
解得 a 0，
16
3
所以实数 a 的取值范围为 ,0 ．……10 分
16
18. （12 分）
【解】（1）由（2b+c）cosA+acosC＝0，
根据正弦定理有（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC＝0，……1 分
所以 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC＝0，
所以 2sinBcosA+sin（C+A）＝0，即 2sinBcosA+sinB＝0， ……3 分
因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，所以 ， ……5 分
因为 0＜A＜π，所以 ． ……6 分
（2）∵cosA＝ ，∴﹣ ＝ ，……8 分
∴b＝10 或﹣16（舍），……9 分
高二数学 期末考 第 1 页 共 8 页
{#{QQABSQSUogiAAgBAAAgCEwWYCkEQkACACCoOwAAEMAAAyRFABAA=}#}
∴S△ABC＝ bcsinA＝ ×10×6× ＝15 ．……12 分
19. （12 分）
【解】（1）证明：∵CF //AE ，CF 面 AED， AE 面 AED，
∴CF // 面 AED，……2 分
又∵BF // 面 AED，BF CF = F ， BF 、CF 面BCF ，
∴面BCF // 面 AED，……4 分
又∵面BCF 面 ABCD = BC，面 ADE 面 ABCD = AD，
∴ AD//BC . ……5 分
（2）以 A 为原点，分别以 AB、AD、AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如
图所示，
则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0) ，D(0,2,0)，E(0,0,4)，
∴BD = ( 2,2,0)，BE = ( 2,0,4)，CE = ( 2, 4,4)，……7 分
设平面BDE的法向量为 n = (x, y, z)，
n BD = 2x+ 2y = 0
则 ，取 z =1，则 x = 2， y = 2，则n = (2,2,1)，……10 分
n BE = 2x+ 4z = 0
8 4
设直线 CE 与平面BDE所成角为 ，则sin =| cos CE,n |= =
6 3 9
4
所以直线 CE 与平面BDE所成角为 ……12 分
9
20．（12 分）
【解】（1）由题意得，c = 3，.……1 分
a
= 2，a2 = b2 +c2， a = 2，b =1，.……3 分
b
x2
椭圆C 的标准方程为 + y2 =1．.……4 分
4
（2）依题意，知B(0,1)，设M (x1, y1 )， N (x2 , y2 )．
y = x+m
联立 消去 y2 2 ，可得5x
2 +8mx+4m2 4 = 0．.……5 分
x + 4y = 4
Δ =16(5 m2 ) 0，即 5 m 5，m 1，
8m 4m2 4
x1 + x2 = ， x x = ．.……7 分
5 1 2 5
BM ⊥ BN ， BM BN = 0．.……8 分
BM BN = (x1, x1 +m 1) (x2 , x2 +m 1) = 2x1x2 + (m 1)(x1 + x2 )+ (m 1)
2 = 0，
4m2 4 8m
2 + (m 1) + (m 1)2 = 0，.……10 分
5 5
3
整理得5m2 2m 3= 0，解得m = 或m =1（舍去）．.……11 分
5
高二数学 期末考 第 2 页 共 8 页
{#{QQABSQSUogiAAgBAAAgCEwWYCkEQkACACCoOwAAEMAAAyRFABAA=}#}
3
直线 l 的方程为 y = x ．即 5x-5y-3=0. .……12 分
5
21. （12 分）
an 1 a + 2 2 1 1 1
【解】（1）由 = a
n
n+1取倒数得 = ，故 = ，.……2 分
a + 2 2 an an+1 an+1 an 2n
1 1 1
又 =1，所以数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，.……4 分
a a 21 n
1 1 n+1 2
则 =1+ (n 1) = ，所以a = ；.……5 分
an 2 2
n
n +1
n n 1
1 n 1 1 2 1
（2）当 ( ) <
n 1 ak ( ) ,n N 时，
2 2
，
2 k +1 2
n 1 k +1 n
故 2 2 ，解得2n 1 k 2n+1 1，.
2
2n+1 1 (2n 1) = 2n b = 2n所以满足条件的整数 k 的个数为 ，即 n ， .……6 分
b 2nn = = (n+1) 2n 1 0
所以 a 2 ，故数列 Sn 递增，.……7 分 n
n +1
所以 Sn = 2 2
0 +3 21 + 4 22 + + (n+1) 2n 1，
则2S = 2 2
1
n +3 2
2 + 4 23 + + n 2n 1 + (n+1) 2n ，
2 2n
两式相减可得 Sn = 2+ 2+ 2
2 + + 2n 1 (n+1) 2n = 2+ (n+1) 2n = n 2n，
1 2
所以 Sn = n 2
n
，.……10 分
.因为 S7 = 7 2
7 =896,S8 =8 2
8 = 2048，所以 S7 2024 S8 ，
因此，满足 Sn 2024的最大正整数 n 的值为 7. ……12 分
22. （12 分）
x2 + 2x+ 2 x2
【解】（1）当a = 2时， f (x) = , f (x) = ．……1 分
ex ex
故切线的斜率 k = f ( 1) = e， ……2 分
又 f ( 1) = e, 切点为 ( 1,e) ……3 分
切线方程为 y e = e(x+1)，化简得ex+ y = 0． ……4 分
x2( ) + ax+ a（2）法 1：当 x 0时， f x 2恒成立，故 2，
ex
2 x ( ) x 2e
x x2
也就是 x +ax+a 2e ，即a x+1 2e x
2
，由 x+1 0得a ，……5 分
x +1
2ex x2
令 h(x) = (x 0)，
x+1
(2ex 2x)(x+1) (2ex x2 ) x (2ex x 2)
则 h (x) = = ，……7 分
(x+1)2 (x+1)2
令 t (x) = 2ex x 2 x，则 t (x) = 2e 1，……8 分
t 可知 (x)在 0,+ )单调递增，则 t (x) t (0) =1，即 t (x) 0在 (0,+ )恒成立，．
故 t (x)在 0,+ )单调递增，所以 t (x) t (0) = 0，故h (x) 0在 0,+ )恒成立．
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{#{QQABSQSUogiAAgBAAAgCEwWYCkEQkACACCoOwAAEMAAAyRFABAA=}#}
所以h (x)在 0,+ )单调递增，……10 分
而 h (0) = 2，所以h(x) 2，故a 2．……12 分
法 2：因为当 x 0时， f (x) 2恒成立，故 f (x)max 2，
x2 + (2 a) x x x (2 a)
由 f (x) = = (x 0 ，
ex ex
)
令 f (x) = 0，得 x = 0或 x = 2 a，…………6 分
①当2 a 0，即a 2时， f (x) 0在 x 0,+ )上恒成立，
a
∴ ( )在 0,+ )上单调递减， f (x)max = f (0) = = a 20 ， e
a 2不合题意，a = 2合题意．……8 分
②当2 a 0，即a 2时，
当 x 0,2 a)时 ′( ) > 0，当 x (2 a,+ )时 f (x) 0，
故 f (x)在 0,2 a)上单调递增，在 (2 a,+ )上单调递减，
4 a
f (x)max = f (2 a) = ，……10
e2 a
分
t + 2 1 t
设 2 a = t 0, y = ，则 y = 0恒成立，
et et
t + 2 t + 2 0+ 2
y = 在 (0,+ )上单调递减，故 = 2即 f (x)max 2，合题意．
et et 1
综上，a 2．……12 分
法 3：因为当 x 0时， f (x) 2恒成立，也就是 x2 +ax+a 2ex ，
即2ex x2 ax a 0恒成立，令h(x) = 2ex x2 ax a, x 0,+ )，
令 S (x) = h (x) = 2ex 2x a,S (x) = 2ex 2，……6 分
x 0, ex 1, S (x) 0恒成立， h (x)在 0,+ )上单调递增．
h (x) min = h (0) = 2 a．……7 分
①当2 a 0，即a 2时，h (x) 0, h(x)在 0,+ )上单调递增，
h(x)min = h(0) = 2 a 0，合题意；……8 分
a
②当2 a 0，即a 2时， ln 0，
2
a a
因为h (0) = 2 a 0， h ln = 2ln 0，
2 2
存在 x0 (0,+ )，使得h (x ) = 0 2e
x
，即 00 = 2x0 +a． ……10 分
h(x)在 0, x )上单调递减，在 (x0 ,+ 0 )上单调递增．
h(x)min = h(x0 ) = 2e
x0 x20 ax0 a = (2x0 +a) x
2
0 ax0 a = x
2
0 + (2 a)x0 0，不合题意．
综上，a 2． ……12 分
高二数学 期末考 第 4 页 共 8 页
{#{QQABSQSUogiAAgBAAAgCEwWYCkEQkACACCoOwAAEMAAAyRFABAA=}#}
