2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测（数学）
一、单选题
1、直线 经过 两点，则 的倾斜角是（ ）
【解答】
由题知： ，故 ，所以倾斜角 ；故选： .
2、抛物线 的焦点坐标是（ ）
【解答】
抛物线方程可转化为： ，故焦点在 轴正半轴，且 ，故焦点坐标为 ；故选： .
3、数列 满足 ，则 （ ）
【解答】
由题知： ；故选： .
4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点，点 是线段 的中点， 为空间中任意
一点，则 （ ）
【解答】
由题知： ；故选： .
-1-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
5、若方程 表示的曲线是圆，则实数 的取值范围是（ ）
【解答】
要满足曲线是圆，则 ，解得： ；故选： .
6、在正方体 中，过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ，动点 在直
线 上，则直线 与 所成角余弦值的最大值为（ ）
【解答】
如图，易知 ， ，
故动点 在直线 上，设正方体棱长为 ，并如图建立空间直角坐标系，
则 ，设两直线所成角为 ，
，故 ，
即 ，令 ，则 ，
所以当 时，即 时， ；故选： .
7、已知等腰直角 斜边 ， 分别为 上的动点，将 沿 折起，使点 到
达点 的位置，且 .若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小
值为（ ）
【解答】
-2-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
如图所示，为使得点 均在球 的球面上，即 四点共圆，故需满足 ，而由
可知： ，故如右图建立空间直角坐标系，并设 ，图
中点 为 的中点，且球心 与点 的连线与 平行，且 ，易知 ，故
由此知： ，故半径 ，
所以当 时， ，所以表面积的最小值为 ；故选： .
8、设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ，
则椭圆 的离心率（ ）
【解答】
如图所示，由余弦定理知： ，
解得：离心率 ；故选： .
二、多选题
9、对于两条不同直线 和两个不同平面 ，下列选项正确的是（ ）
【解答】
-3-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
由题根据空间线面关系可知，选项 正确；而对于 ，直线 互相垂直、平行、异面三种情
况都有可能；故选： .
10、已知圆 和圆 的交点为 ，则（ ）
【解答】
将两圆的方程转化为标准方程得： ，故 ，
半径 ，所以 ，故 ，故两圆相交，故选项 正确；
对于 ，两圆方程相减得： ，即 为两圆的公共弦方程，故选项 正确；
对于 ， ，故 ，而圆 的直径为 ，故选项 错误；
对于 ，因 ，而圆 的半径为 ，故选项 正确；综上所述，故选： .
11、教材章头语介绍：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.圆锥
轴截面的顶角为 ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为 .当 时，截口曲线为椭圆；
当 时，截口曲线为抛物线；当 时，截口曲线为双曲线.在长方体 中，
，点 在平面 内，下列说法正确的是（ ）
【解答】
-4-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
对于 ，点 到直线 的距离即为 ，而点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离，故
满足要求的点 只能在线段 上，故选项 错误；
对于 ，点 到直线 的距离即为 ，点 到直线 的距离即为 ，故 ，
故满足要求的点 在以 为焦点的椭圆上，故选项 正确；
对于 ，易知旋转轴 与平面 （截口平面）所成角的正切值为 ，而选项
中的 ，即 ，故 ，故此时点 的轨迹为椭圆，故选项 错误；选项 中的 ，
即 ，故 ，故此时点 的轨迹为双曲线，故选项 正确；综上所述，故选： .
12、如图，直平面六面体 的所有棱长都为 ， ， 为 的中点，点 是
四边形 （包括边界）内，则下列结论正确的是（ ）
【解答】
对于 ，过点 的截面即为平面 ，如建立空间直角坐标系，
易知 ，故 ，
，故 ，故 ，所以四
边形 为直角梯形，故选项 正确；
对于 ，如图 分别为 的中点，故 ，故点 在线段 上运动，易知
，故 ，故 ，
-5-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
故 的最小值即为 ，故选项 正确；
对于 ，设平面 的法向量为 ，故 ，令 ，则 ，故
，设 ，而 ，故 ，要使得 ，
故 ，解得： ，因点 在四边形 （包括边界）内，故须满
足 ，故选项 错误；
对于 ， ，故 ，故当 时，
点 到面 的距离最大，最大值为 ，故选项 正确；综上所述，故选： .
三、填空题
13、求经过点 ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 .
【解答】
设双曲线的方程为 ，将点 代入得： ，故双曲线的标准方程为： ；
故填： .
14、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 .
【解答】
因等差数列，故 ；故填： .
15、已知抛物线 和圆 ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数
.
【解答】
由抛物线的对称性，不妨设交点为 ，且满足 ，抛物线在点 处的切线方程为
，故由题知： ，故解得： ，代入圆方程可得： ，
故解得： ；故填： .
-6-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
16、正三棱锥 ，点 为侧棱 的中点， 分别是线段 上的动点，则
的最小值为 .
【解答】
如图所示，易知 ， ，故 ，
设 ，则 ，故 ，
所以 ，而 ，故 ，
故 ，
而 ，
所以 ；故填： .
四、解答题
17、已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）若 ，求 的通项公式；（Ⅱ）若 ，求 .
【解答】（Ⅰ）b 2n 1n ；（Ⅱ） .
（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q .（Ⅰ）由 a2 b2 2， a3 b3 3得：
d q 1 q 0 q 2
2 ，解得 （舍去）， .于是b 2
n 1 .
q 2d 2 d 1 d 1
n
（Ⅱ）由T3 21得 q2 q 20 0，解得 q 5或 q 4 .当 q 4时，得 d 3， S3 6；当 q 5
时，得 d 6， S3 21 .综上所述，故 .
18、已知圆 过点 和点 ，圆心在直线 上.
（Ⅰ）求圆 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（Ⅱ）若直线 经过点 ，且 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
【解答】（Ⅰ）圆心为 (2,1)，半径为 r 5 ；（Ⅱ） x 1或3x 4y 7 0 .
D E
12 2
2 2
（Ⅰ）设圆C的方程为 x y Dx Ey F 0，则 1 9 D 3E F 0 ，
16 4 4D 2E F 0
解得D 4,E 2,F 0 . 2所以圆C的方程为： x y2 4x 2y 0，圆心为 (2,1)，半径为 r 5 .
-7-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆心到直线 l的距离为 d 5 22 1 .
于是当直线 l的斜率不存在时，直线方程为 x 1，符合题意；
2k 1 k 1
当直线斜率存在时，不妨设直线方程为 y 1 k(x 1)，即 kx y k 1 0，令 1，
k 2 1
解得 k 3 ，直线方程是3x 4y 7 0 .综上所述，直线 l的方程是： x 1或3x 4y 7 0 .
4
19、如图，在三棱柱 中， ， 在底面 的射影为
的中点， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
7
【解答】（Ⅰ）略；（Ⅱ） .
8
（Ⅰ）如图，取 BC的中点O，则OA1 平面 ABC .连接 AO，则 AO OA1 .又 AB AC 2，
所以 AO BC，于是 AO 平面 A1BC . 又 AO∥ A1D，故 A1D 平面 A1BC .
（Ⅱ）连接OD，则 BC 平面AODA1，从而平面 A1OD 平面BCC1B1 . BAC 900，
AB AC 2,AA1 4，所以 A1D AO 2 ， A1O 14 .作 A1E OD，垂足为 E，
则 A1E 平面BCC1B1 .连接 BE，则 A1BE 就是直线 A1B与平面 BCC1B1所成角，设为 .
Rt AOD 7 Rt AOB 2 2 A E 7在 1 中， A 11E ，在 1 中， A B AO OB 4，于是 sin ，2 1 1 A1B 8
7
故直线 A1B与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 .
8
20、已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点且纵坐标为 ， 轴于点 ，且
.
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）已知点 是抛物线 上不同的两点，且满足 .证明：
直线 恒过定点 .
-8-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
【解答】（Ⅰ） p 4；（Ⅱ）略.
8 8 1 8 p 2
（Ⅰ）显然点Q( , 4)，由抛物线定义可知， ( )，解得 p 4，所以抛物线方程为：y 8x .
p p 2 p 2
M (1（Ⅱ）点 , 2)在抛物线上 .设直线 AB : x my n ，点 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，联立 y2 8x，得2
y2 8my 8n 0，在 0下， y1 y2 8m, y1y2 8n ，所以
k y1 2 y2 2
y 2 y 2
AM kBM 1 1
1 2 8 8 8(y y ) 32 8
y2x x 1 1 y
2 1 2
2
1
1 2 y 2 y 2 y y 2(y y ) 4 5
，整理，
2 2 8 2 8 2 1 2 1 2 1 2
得 n 3m 2 .将n 3m 2代入直线 x my n，得 x my 3m 2，即 x 2 m(y 3)，所以直线 AB
恒过定点 ( 2, 3) .
21、在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，侧面 是边长为 的正三角
形，侧面 平面 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若点 为棱 上的动点，求平面 与平面 夹角的正弦值的最小值.
6
【解答】（Ⅰ）略；（Ⅱ） .
4
（Ⅰ）取 AD中点O，连接OP、OB，由题可知正 ADB， AD BO同理 AD PO，
又 PO BO O AD POB AD PB .
（Ⅱ）如图建系，则 A 0, 1,0 ,B 3,0,0 ,C 3,2,0 ,D 0,1,0 ,P 0,0, 3 ，PC 3,2, 3 ，
设 PQ PC 3,2, 3 3 , 2 , 3 ，
OQ OP PQ 0,0, 3 3 , 2 , 3 ( 3 , 2 , 3 3 ) ，
AQ 3 , 2 1, 3 3 ，又 AB 3,1,0 ，设面 ABQ的法向量是m (x, y, z)，
3x y 0
则 3 x 2 1 y 3 3 z 0 ，令 z 3 3 ，则m 3 3 ,3 3, 3 3 ，
-9-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
易得面 PBC的法向量是 n (1,0,1)，
cos 2 3 6 10 ，
2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 15 18 15 4
所以平面 ABQ与平面PBC 6夹角的正弦值的最小值为 .
4
22、已知椭圆 的离心率是 ，且椭圆 上的点到点 的距离的最大值
为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同的两点
，且 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理
由.
x2 y2 1 6 2 6 2 6 2【解答】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在点 P满足题意，P点的坐标是 ( , )，( , ) ，( , ) ，
3 2 2 2 2 2 2
( 6 , 2 1 ) .此时 OAB的面积为 .
2 2 2
c2 a2 b2 2 2 2
（Ⅰ） e2 ， a2 2 x y 3b ， 椭圆2 2 2 2 1，即 x
2 3y2 3b2 .
a a 3 3b b
设椭圆上的点到点Q(0, 2)的距离的最大值为 d ，则
d (x 0)2 (y 2)2 = x2 (y 2)2 = 3b2 3y2 ( y 2)2 2( y 1)2 3b2 6 ，
2
当 y 1 x时，d 取得最大值，d 2 2 2 2max 3b 6 3，解得b 1 a 3， 椭圆C的方程为 y 1.3
m2
（Ⅱ）假设存在点 P(m,n)满足题意，则 n2 1，即m2 3 3n2 .设圆心到直线 l的距离为 d0，3
m 0 n 0 1
则 d 1
1
，也即 d ， AB 2 12 d 20 0 0 2 1
1
，
m2 n2 m2 n2 m2 n2
1 1 1 1 1
于是 S ABC AB d 0 (1 ) m2 n2
1 2 2
2 m2 n2 m2 n2 ( m n ) 2
1
2 2
-10-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
m2 3
1 1 1 m2 n2 2
2
当且仅当 2 2 1 2 2 ，即m
2 n2 2 1时，S OAB取到最大值 .由 得m n m n 2 2 2
，
m 3 3n n2 1
2
6 2 6 2 6 2 6 2存在点 P满足题意，P点的坐标是 ( , )，( , )，( , )，( , ) .此时 OAB
2 2 2 2 2 2 2 2
1
的面积为 .
2
-11-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测（数学）
一、单选题
1、直线 经过 两点，则 的倾斜角是（ ）
2、抛物线 的焦点坐标是（ ）
3、数列 满足 ，则 （ ）
4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点，点 是线段 的中点， 为空间中任意
一点，则 （ ）
5、若方程 表示的曲线是圆，则实数 的取值范围是（ ）
6、在正方体 中，过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ，动点 在直
线 上，则直线 与 所成角余弦值的最大值为（ ）
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
7、已知等腰直角 斜边 ， 分别为 上的动点，将 沿 折起，使点 到
达点 的位置，且 .若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小
值为（ ）
8、设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ，
则椭圆 的离心率（ ）
二、多选题
9、对于两条不同直线 和两个不同平面 ，下列选项正确的是（ ）
10、已知圆 和圆 的交点为 ，则（ ）
11、教材章头语介绍：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.圆锥
轴截面的顶角为 ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为 .当 时，截口曲线为椭圆；
当 时，截口曲线为抛物线；当 时，截口曲线为双曲线.在长方体 中，
，点 在平面 内，下列说法正确的是（ ）
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
12、如图，直平面六面体 的所有棱长都为 ， ， 为 的中点，点 是
四边形 （包括边界）内，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题
13、求经过点 ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 .
14、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 .
15、已知抛物线 和圆 ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数
.
16、正三棱锥 ，点 为侧棱 的中点， 分别是线段 上的动点，则
的最小值为 .
四、解答题
17、已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）若 ，求 的通项公式；（Ⅱ）若 ，求 .
18、已知圆 过点 和点 ，圆心在直线 上.
（Ⅰ）求圆 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（Ⅱ）若直线 经过点 ，且 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
19、如图，在三棱柱 中， ， 在底面 的射影为
的中点， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20、已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点且纵坐标为 ， 轴于点 ，且
.
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）已知点 是抛物线 上不同的两点，且满足 .证明：
直线 恒过定点 .
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
21、在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，侧面 是边长为 的正三角
形，侧面 平面 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若点 为棱 上的动点，求平面 与平面 夹角的正弦值的最小值.
22、已知椭圆 的离心率是 ，且椭圆 上的点到点 的距离的最大值
为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同的两点
，且 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理
由.
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
