浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题(PDF版含解析)

文档属性

名称 浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题(PDF版含解析)
格式 zip
文件大小 2.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-02-02 11:07:06

文档简介

2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测(数学)
一、单选题
1、直线 经过 两点,则 的倾斜角是( )
【解答】
由题知: ,故 ,所以倾斜角 ;故选: .
2、抛物线 的焦点坐标是( )
【解答】
抛物线方程可转化为: ,故焦点在 轴正半轴,且 ,故焦点坐标为 ;故选: .
3、数列 满足 ,则 ( )
【解答】
由题知: ;故选: .
4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点,点 是线段 的中点, 为空间中任意
一点,则 ( )
【解答】
由题知: ;故选: .
-1-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
5、若方程 表示的曲线是圆,则实数 的取值范围是( )
【解答】
要满足曲线是圆,则 ,解得: ;故选: .
6、在正方体 中,过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ,动点 在直
线 上,则直线 与 所成角余弦值的最大值为( )
【解答】
如图,易知 , ,
故动点 在直线 上,设正方体棱长为 ,并如图建立空间直角坐标系,
则 ,设两直线所成角为 ,
,故 ,
即 ,令 ,则 ,
所以当 时,即 时, ;故选: .
7、已知等腰直角 斜边 , 分别为 上的动点,将 沿 折起,使点 到
达点 的位置,且 .若点 均在球 的球面上,则球 表面积的最小
值为( )
【解答】
-2-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
如图所示,为使得点 均在球 的球面上,即 四点共圆,故需满足 ,而由
可知: ,故如右图建立空间直角坐标系,并设 ,图
中点 为 的中点,且球心 与点 的连线与 平行,且 ,易知 ,故
由此知: ,故半径 ,
所以当 时, ,所以表面积的最小值为 ;故选: .
8、设椭圆 的两个焦点是 ,过点 的直线与 交于点 ,若 ,且 ,
则椭圆 的离心率( )
【解答】
如图所示,由余弦定理知: ,
解得:离心率 ;故选: .
二、多选题
9、对于两条不同直线 和两个不同平面 ,下列选项正确的是( )
【解答】
-3-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
由题根据空间线面关系可知,选项 正确;而对于 ,直线 互相垂直、平行、异面三种情
况都有可能;故选: .
10、已知圆 和圆 的交点为 ,则( )
【解答】
将两圆的方程转化为标准方程得: ,故 ,
半径 ,所以 ,故 ,故两圆相交,故选项 正确;
对于 ,两圆方程相减得: ,即 为两圆的公共弦方程,故选项 正确;
对于 , ,故 ,而圆 的直径为 ,故选项 错误;
对于 ,因 ,而圆 的半径为 ,故选项 正确;综上所述,故选: .
11、教材章头语介绍:用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).圆锥
轴截面的顶角为 ,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为 .当 时,截口曲线为椭圆;
当 时,截口曲线为抛物线;当 时,截口曲线为双曲线.在长方体 中,
,点 在平面 内,下列说法正确的是( )
【解答】
-4-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
对于 ,点 到直线 的距离即为 ,而点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离,故
满足要求的点 只能在线段 上,故选项 错误;
对于 ,点 到直线 的距离即为 ,点 到直线 的距离即为 ,故 ,
故满足要求的点 在以 为焦点的椭圆上,故选项 正确;
对于 ,易知旋转轴 与平面 (截口平面)所成角的正切值为 ,而选项
中的 ,即 ,故 ,故此时点 的轨迹为椭圆,故选项 错误;选项 中的 ,
即 ,故 ,故此时点 的轨迹为双曲线,故选项 正确;综上所述,故选: .
12、如图,直平面六面体 的所有棱长都为 , , 为 的中点,点 是
四边形 (包括边界)内,则下列结论正确的是( )
【解答】
对于 ,过点 的截面即为平面 ,如建立空间直角坐标系,
易知 ,故 ,
,故 ,故 ,所以四
边形 为直角梯形,故选项 正确;
对于 ,如图 分别为 的中点,故 ,故点 在线段 上运动,易知
,故 ,故 ,
-5-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
故 的最小值即为 ,故选项 正确;
对于 ,设平面 的法向量为 ,故 ,令 ,则 ,故
,设 ,而 ,故 ,要使得 ,
故 ,解得: ,因点 在四边形 (包括边界)内,故须满
足 ,故选项 错误;
对于 , ,故 ,故当 时,
点 到面 的距离最大,最大值为 ,故选项 正确;综上所述,故选: .
三、填空题
13、求经过点 ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 .
【解答】
设双曲线的方程为 ,将点 代入得: ,故双曲线的标准方程为: ;
故填: .
14、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ,且 ,则 .
【解答】
因等差数列,故 ;故填: .
15、已知抛物线 和圆 ,若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直,则实数
.
【解答】
由抛物线的对称性,不妨设交点为 ,且满足 ,抛物线在点 处的切线方程为
,故由题知: ,故解得: ,代入圆方程可得: ,
故解得: ;故填: .
-6-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
16、正三棱锥 ,点 为侧棱 的中点, 分别是线段 上的动点,则
的最小值为 .
【解答】
如图所示,易知 , ,故 ,
设 ,则 ,故 ,
所以 ,而 ,故 ,
故 ,
而 ,
所以 ;故填: .
四、解答题
17、已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 , .
(Ⅰ)若 ,求 的通项公式;(Ⅱ)若 ,求 .
【解答】(Ⅰ)b 2n 1n ;(Ⅱ) .
(Ⅰ)设等差数列 an 的公差为 d ,等比数列 bn 的公比为 q .(Ⅰ)由 a2 b2 2, a3 b3 3得:
d q 1 q 0 q 2
2 ,解得 (舍去), .于是b 2
n 1 .
q 2d 2 d 1 d 1
n

(Ⅱ)由T3 21得 q2 q 20 0,解得 q 5或 q 4 .当 q 4时,得 d 3, S3 6;当 q 5
时,得 d 6, S3 21 .综上所述,故 .
18、已知圆 过点 和点 ,圆心在直线 上.
(Ⅰ)求圆 的方程,并写出圆心坐标和半径的值;
(Ⅱ)若直线 经过点 ,且 被圆 截得的弦长为 ,求直线 的方程.
【解答】(Ⅰ)圆心为 (2,1),半径为 r 5 ;(Ⅱ) x 1或3x 4y 7 0 .
D E
12 2
2 2
(Ⅰ)设圆C的方程为 x y Dx Ey F 0,则 1 9 D 3E F 0 ,

16 4 4D 2E F 0

解得D 4,E 2,F 0 . 2所以圆C的方程为: x y2 4x 2y 0,圆心为 (2,1),半径为 r 5 .
-7-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,圆心到直线 l的距离为 d 5 22 1 .
于是当直线 l的斜率不存在时,直线方程为 x 1,符合题意;
2k 1 k 1
当直线斜率存在时,不妨设直线方程为 y 1 k(x 1),即 kx y k 1 0,令 1,
k 2 1
解得 k 3 ,直线方程是3x 4y 7 0 .综上所述,直线 l的方程是: x 1或3x 4y 7 0 .
4
19、如图,在三棱柱 中, , 在底面 的射影为
的中点, 为 的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
7
【解答】(Ⅰ)略;(Ⅱ) .
8
(Ⅰ)如图,取 BC的中点O,则OA1 平面 ABC .连接 AO,则 AO OA1 .又 AB AC 2,
所以 AO BC,于是 AO 平面 A1BC . 又 AO∥ A1D,故 A1D 平面 A1BC .
(Ⅱ)连接OD,则 BC 平面AODA1,从而平面 A1OD 平面BCC1B1 . BAC 900,
AB AC 2,AA1 4,所以 A1D AO 2 , A1O 14 .作 A1E OD,垂足为 E,
则 A1E 平面BCC1B1 .连接 BE,则 A1BE 就是直线 A1B与平面 BCC1B1所成角,设为 .
Rt AOD 7 Rt AOB 2 2 A E 7在 1 中, A 11E ,在 1 中, A B AO OB 4,于是 sin ,2 1 1 A1B 8
7
故直线 A1B与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 .
8
20、已知抛物线 的焦点为 , 为 上一点且纵坐标为 , 轴于点 ,且
.
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)已知点 是抛物线 上不同的两点,且满足 .证明:
直线 恒过定点 .
-8-
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【解答】(Ⅰ) p 4;(Ⅱ)略.
8 8 1 8 p 2
(Ⅰ)显然点Q( , 4),由抛物线定义可知, ( ),解得 p 4,所以抛物线方程为:y 8x .
p p 2 p 2
M (1(Ⅱ)点 , 2)在抛物线上 .设直线 AB : x my n ,点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ),联立 y2 8x,得2
y2 8my 8n 0,在 0下, y1 y2 8m, y1y2 8n ,所以
k y1 2 y2 2
y 2 y 2
AM kBM 1 1
1 2 8 8 8(y y ) 32 8
y2x x 1 1 y
2 1 2
2
1
1 2 y 2 y 2 y y 2(y y ) 4 5
,整理,
2 2 8 2 8 2 1 2 1 2 1 2
得 n 3m 2 .将n 3m 2代入直线 x my n,得 x my 3m 2,即 x 2 m(y 3),所以直线 AB
恒过定点 ( 2, 3) .
21、在四棱锥 中,底面 是边长为 的菱形, ,侧面 是边长为 的正三角
形,侧面 平面 .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若点 为棱 上的动点,求平面 与平面 夹角的正弦值的最小值.
6
【解答】(Ⅰ)略;(Ⅱ) .
4
(Ⅰ)取 AD中点O,连接OP、OB,由题可知正 ADB, AD BO同理 AD PO,
又 PO BO O AD POB AD PB .
(Ⅱ)如图建系,则 A 0, 1,0 ,B 3,0,0 ,C 3,2,0 ,D 0,1,0 ,P 0,0, 3 ,PC 3,2, 3 ,

设 PQ PC 3,2, 3 3 , 2 , 3 ,

OQ OP PQ 0,0, 3 3 , 2 , 3 ( 3 , 2 , 3 3 ) ,
AQ 3 , 2 1, 3 3 ,又 AB 3,1,0 ,设面 ABQ的法向量是m (x, y, z),
3x y 0

则 3 x 2 1 y 3 3 z 0 ,令 z 3 3 ,则m 3 3 ,3 3, 3 3 ,
-9-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}

易得面 PBC的法向量是 n (1,0,1),
cos 2 3 6 10 ,
2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 15 18 15 4
所以平面 ABQ与平面PBC 6夹角的正弦值的最小值为 .
4
22、已知椭圆 的离心率是 ,且椭圆 上的点到点 的距离的最大值
为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)在椭圆 上,是否存在点 ,使得直线 与圆 相交于不同的两点
,且 的面积最大?若存在,请求出点 的坐标及对应的 的面积;若不存在,请说明理
由.
x2 y2 1 6 2 6 2 6 2【解答】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在点 P满足题意,P点的坐标是 ( , ),( , ) ,( , ) ,
3 2 2 2 2 2 2
( 6 , 2 1 ) .此时 OAB的面积为 .
2 2 2
c2 a2 b2 2 2 2
(Ⅰ) e2 , a2 2 x y 3b , 椭圆2 2 2 2 1,即 x
2 3y2 3b2 .
a a 3 3b b
设椭圆上的点到点Q(0, 2)的距离的最大值为 d ,则
d (x 0)2 (y 2)2 = x2 (y 2)2 = 3b2 3y2 ( y 2)2 2( y 1)2 3b2 6 ,
2
当 y 1 x时,d 取得最大值,d 2 2 2 2max 3b 6 3,解得b 1 a 3, 椭圆C的方程为 y 1.3
m2
(Ⅱ)假设存在点 P(m,n)满足题意,则 n2 1,即m2 3 3n2 .设圆心到直线 l的距离为 d0,3
m 0 n 0 1
则 d 1
1
,也即 d , AB 2 12 d 20 0 0 2 1
1

m2 n2 m2 n2 m2 n2
1 1 1 1 1
于是 S ABC AB d 0 (1 ) m2 n2
1 2 2
2 m2 n2 m2 n2 ( m n ) 2
1
2 2
-10-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
m2 3
1 1 1 m2 n2 2

2
当且仅当 2 2 1 2 2 ,即m
2 n2 2 1时,S OAB取到最大值 .由 得m n m n 2 2 2

m 3 3n n2 1
2
6 2 6 2 6 2 6 2存在点 P满足题意,P点的坐标是 ( , ),( , ),( , ),( , ) .此时 OAB
2 2 2 2 2 2 2 2
1
的面积为 .
2
-11-
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测(数学)
一、单选题
1、直线 经过 两点,则 的倾斜角是( )
2、抛物线 的焦点坐标是( )
3、数列 满足 ,则 ( )
4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点,点 是线段 的中点, 为空间中任意
一点,则 ( )
5、若方程 表示的曲线是圆,则实数 的取值范围是( )
6、在正方体 中,过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ,动点 在直
线 上,则直线 与 所成角余弦值的最大值为( )
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
7、已知等腰直角 斜边 , 分别为 上的动点,将 沿 折起,使点 到
达点 的位置,且 .若点 均在球 的球面上,则球 表面积的最小
值为( )
8、设椭圆 的两个焦点是 ,过点 的直线与 交于点 ,若 ,且 ,
则椭圆 的离心率( )
二、多选题
9、对于两条不同直线 和两个不同平面 ,下列选项正确的是( )
10、已知圆 和圆 的交点为 ,则( )
11、教材章头语介绍:用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).圆锥
轴截面的顶角为 ,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为 .当 时,截口曲线为椭圆;
当 时,截口曲线为抛物线;当 时,截口曲线为双曲线.在长方体 中,
,点 在平面 内,下列说法正确的是( )
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
12、如图,直平面六面体 的所有棱长都为 , , 为 的中点,点 是
四边形 (包括边界)内,则下列结论正确的是( )
三、填空题
13、求经过点 ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 .
14、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ,且 ,则 .
15、已知抛物线 和圆 ,若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直,则实数
.
16、正三棱锥 ,点 为侧棱 的中点, 分别是线段 上的动点,则
的最小值为 .
四、解答题
17、已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 , .
(Ⅰ)若 ,求 的通项公式;(Ⅱ)若 ,求 .
18、已知圆 过点 和点 ,圆心在直线 上.
(Ⅰ)求圆 的方程,并写出圆心坐标和半径的值;
(Ⅱ)若直线 经过点 ,且 被圆 截得的弦长为 ,求直线 的方程.
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
19、如图,在三棱柱 中, , 在底面 的射影为
的中点, 为 的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20、已知抛物线 的焦点为 , 为 上一点且纵坐标为 , 轴于点 ,且
.
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)已知点 是抛物线 上不同的两点,且满足 .证明:
直线 恒过定点 .
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
21、在四棱锥 中,底面 是边长为 的菱形, ,侧面 是边长为 的正三角
形,侧面 平面 .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若点 为棱 上的动点,求平面 与平面 夹角的正弦值的最小值.
22、已知椭圆 的离心率是 ,且椭圆 上的点到点 的距离的最大值
为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)在椭圆 上,是否存在点 ,使得直线 与圆 相交于不同的两点
,且 的面积最大?若存在,请求出点 的坐标及对应的 的面积;若不存在,请说明理
由.
{#{QQABYQaUgggIAABAAQhCAwHICkEQkBAAAIoOBBAIMAAACQNABAA=}#}
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