江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（PDF版含答案）

准考证号 姓名
绝密★启用前 （在此卷上答题无效）
萍乡市 2023—2024学年度第一学期期末考试
高 一 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1至 2页，第Ⅱ卷 3
至 4页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5毫米的黑
色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A 1, a2 2a 1,a 4 ，若 4 A，则 a的值可能为
A． 1，3 B． 1 C． 1，3，8 D． 1，8
2．下列说法正确的是
A．若 f x 是奇函数，则 f 0 0
B．若 f x 2mx m (m为常数)是幂函数，则不等式 f x 1 f 10 2x 的解集为 3,5
2
C．函数 y 在 ,0 0, 上是减函数
x
D． y x2 与 y x为同一函数
3．下列命题为真命题的是
a b 1 1 a b b 1 bA. 若 ，则 B. 若 ，则
a b a 1 a
C. 若 a c b d ， c d ，则 a c b d D.若 a b 0 a
1 b 1 ，则
a b
4．太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液
和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过滤一次可
减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为（参考数
据： lg3 0.477）
A． 42次 B． 43次 C． 44次 D． 45次
5．已知函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，且在 ,0 上单调递减，若 a f (3 0.5 ) ，
b f (log 2 21 )，2 c f ( )
，则
3 2
A．b a c B． a b c C． a c b D． c a b
试卷第 1页，共 7页
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6．甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，
若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为
A. 0.36 B. 0.352 C.0.288 D. 0.648
x 1 a x 1
7．若把函数 f (x) 2(0 a 1) 的图象平移，可以使图象上的点 P 2,0 变换成
| x 1|
点Q 1, 2 ，则函数 y f (x)的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为
A. B. C. D.
(x 2)2023 2023x 4045
8．已知 x, y R，且满足 ，则 x y(y 2)2023 的值为 2023y 4047
A. 0 B. 2 C. 4 D.8
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列说法错．误．的是
A.命题“有一个奇数不能被 3整除”的否定是“有一个奇数能被 3整除”
B.“菱形是正方形”是全称命题
C a 1.式子 化简后为 a
a
D.“ a 8”是“ x 1,3 ，有 x2 a 0为真命题”的充分不必要条件
10．已知定义在R 的函数 f x 满足 f x 1 f 1 x 0，且在区间 ,1 上单调递减，
若 f 2 0，则下列说法正确的是
A. f 1 1 B. f x 的对称中心为 1, 0
C. f x 在区间 1,+ 上单调递减 D.满足 xf x 0的 x的取值范围是 ,1 2,
xi
11 1 ．已知样本甲: x1, x2 , x3 , , xn 与样本乙: y1, y2 , y3 , ，yn 满足关系 yi (i 1,2, ,n)，
3
则下列结论错．误．的是
A．样本乙的极差等于样本甲的极差
B．若某个 xi为样本甲的中位数，则 yi是样本乙的中位数
C．样本乙的众数小于样本甲的众数
D．若某个 xi为样本甲的平均数，则 yi是样本乙的平均数
12．已知函数 f x a 3x 3 x 2 2bx，若函数 y f x 与函数 y f f x 的零点相同，
则 a 2b的取值可能是
A. 2 B. 2 C. 0 D. 4
试卷第 2页，共 7页
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高 一 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．
13．某班拟从 2名男学生和1名女学中随机选派 2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学
生和一名男学生去参加活动的概率是_________．
14．在一次篮球比赛中，某球队共进行了 9场比赛，得分分别 26，37，23，45，32，36，40，42，51，
则这组数据的 60%分位数为_________．
15．已知关于 x的一元二次不等式 mx2 2x 1 0的解集为 a,b ，则 3a b的最小值为
_________．
3x , x 0
16．记[x]表示不超过 x的最大整数，例如 [1.3] 1,[ 2.5] 3．已知函数 f (x) ，
[x], x 0
若函数 g(x) f (x) loga | x |恰有2个零点，则实数 a的取值范围为_________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知 a R ，集合 A x | a 1 x 2a 1 ， B x | 3 x 3 ．
(1)若 a 2，求 CRA B；
(2)若“ x A”是“ x B”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
18．（本小题满分 12 分）
f x x 1已知函数 3．
x
(1)判断函数 f x 在区间 1, 上的单调性，并用定义证明；
(2)用二分法求方程 f x 0在区间 1, 上的一个近似解（精确度为 0.1）．
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) loga x (a 0,且a 1)，从下面两个条件中选择一个进行解答．
① f (x)
1
的反函数经过点 (1, 1) 2 ；② f (x) f (x) 0的解集为 2 ．2
(1)求实数 a的值；
x x
(2)若 g(x) f ( ) f ( ), x [2,8] ，求 g(x)的最值及对应 x的值．
2 4
试卷第 3页，共 7页
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20．（本小题满分 12 分）
从某学校 800名男生中随机抽取 50名测量身高，被测学生身高全部介于 155cm和 195cm之
间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160 ，第二组 160,165 ，…，第八组
190,195 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为 4．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男
生中随机抽取两名，若他们的身高分别为
x, y，记 x y 5为事件 E，求 P E ．
21．（本小题满分 12 分）
2 2
已知 a R ，函数 f x 2x ax a ， g x x2 x a2 4．
(1)若 a 4，求不等式 f log2x 22的解集；
(2)求不等式 f x 2a2 的解集；
(3) x 1,3 ，不等式 f x g x 恒成立，求 a的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平
台从 2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从 2020到 2023年，
每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第 4年数据为截止到 2023年10月底的数据）．
建立平台第 x年 1 2 3 4
会员人数 y（千人） 28 36 52 82
(1) *请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立 x x N
年后会员人数 y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测 2023年年末的会员人数；
① y
b
c b 0 ；② y d logr x e（ r 0且 r 1）；③ y tax s（ a 0且 a 1）；x
(2) x为了更好的维护管理平台，该平台规定第 x年的会员人数上限为 k 4 k 0 千人，请根
据（1）中得到的函数模型，求 k的最小值．
试卷第 4页，共 7页
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萍乡市 2023—2024 学年度第一学期期末考试
高一数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（8×5=40 分）：DBCCA； BDC．
二、多项选择题（4×5=20 分）：AD；BCD；ACD；AC．
【12 题解析】设 f x 的零点为 x0 ，则 f x0 0，又 f f x0 0，故 f 0 0 ，解得
a 0 f x x2，则 2bx . f f x x 2 2bx x 2 2bx 2b ，因为函数 y f x 与函
数 y f f x 的零点相同，所以方程 x2 2bx 2b 0 无解或与方程 x2 2bx 0的解相同，
所以 4b2 8b 0或b 0，解得 2 b 0，所以0 a 2b 4 .
2
三、填空题（4×5=20 分）：13． ； 14． 40； 15． 2 3 ； 16．[ 3,2)．
3
四、解答题（共 70 分）
17.(1)当 a 2时，集合 A {x |1 x 5}，可得CRA {x | x 1或x 5}，………………3分
所以 (CRA) B {x | 3 x 1}； …………………………………………………………5分
（2）由题知，集合 A是集合 B的真子集， …………………………………………………6 分
当 A 时， a 1 2a 1，即 a 2，符合题意，…………………………………………7 分
2a 1 3
当 A 时，则 2a 1 a 1，即 a 2，且满足 ，两式不能同时取等号，解
a 1 3
得 2 a 1，……………………………………………………………………………………9分
综上，实数 a的取值范围为 ( ,1]. …………………………………………………………10 分
18.（1） y f x 在 1, 单调递增；证明如下： …………………………………………1 分
任取 x1, x2 1, ，不妨设 x1 x2，
f x f x x x 1 1 x 2 x1 x1x2 1 2 1 2 1 ， ……………………………………4 分x2 x1 x1x2
因为1 x1 x2 ，所以 x2 x1 0,x1x2 1 0,x1x2 0，所以 f x2 f x1 0，
即 f x2 f x1 ，所以 y f x 在 1, 上单调递增； …………………………………6 分
1
（2）函数 f x x 3在区间 1, 上是连续且单调的，其在区间 1, 上的零点即为
x
方程 f x 0在区间 1, 上的解， ………………………………………………………7 分
已知 f 2 0， f 3 0，在区间 1, 上利用二分法列表如下： ………………………8分
试卷第 5页，共 7页
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区间 中点 x0 中点函数值 f x0 区间长度
2,3 5 5 2.5 f 0 12 2
5 11 11 1
,3 2.75 f 0
2 4 4 2
5 ,11 21 21 2.625 f
0 1
2 4 8 8 4
5 , 21 41 41 2.5625 f

0
1
2 8 16 16 8
41 21 1 1 1
此时解在区间 , ，此区间长度为 ， ，满足精确度为0.1， …………11 分
16 8 16 16 10
41
故区间 ,
21
即 2.5625,2.625 内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近
16 8
似解，比如 2.6是方程 f x 0在 1, 上的一个近似解.………………………………12 分
19.（1）【若选①】由题知，函数 f x log xa x的反函数为 f x a ， …………………2分
则 a1 1 1 ，即 a ； …………………………………………………………………………4 分
2 2
1
【若选②】由题知， f (x)[ f (x) 1] 0的解集为 ，……………………………………2分
2
因为 f 1 1 1 1 1 loga 0，所以 f

loga 1，即 a ； ……………………………4 分
2 2 2 2 2
（2）由（1）知， f x log 1 x，则 g x (log 1 x 1)(log 1 x 2)， ……………………6 分
2 2 2
令t log1 x [ 3, 1],则g(x) h(t) (t 1)(t
3
2） (t )2 1 ，…………………………8分
2 2 4
t 3 1当 ，即 x 2 2 时， g x
2 min
；当 t 3，即 x 8时， g x
4 max
2， ……11 分
x 1综上：当 8时， g x max 2；当 x 2 2 时， g x min .…………………………12 分4
4
20. (1)第六组的频率为 0.08，……………………………………………………………1分
50
则第七组的频率为1 0.08 5 0.008 2 0.016 0.04 2 0.06 0.06；…………………3分
(2)由图知，身高在 155,160 的频率为0.008 5 0.04，在 160,165 的频率为0.016 5 0.08，
在 165,170 的频率为0.04 5 0.2，在 170,175 的频率为0.04 5 0.2，…………………5分
由于 0.04 0.08 0.2 0.32 0.5， 0.04 0.08 0.2 0.2 0.52 0.5，设这所学校的 800名男
试卷第 6页，共 7页
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生的身高中位数为 m，则170 m 175， ……………………………………………………6分
由 0.04 0.08 0.2 m 170 0.04 0.5，得m 174.5，所以这所学校 800名男生身高的中
位数为 174.5cm； ………………………………………………………………………………7分
(3)样本身高在第六组 180,185 的人数为 4，设为 a，b，c，d，在第八组 190,195 的人数为
0.008 5 50 2，设为 A，B，则从中随机抽取两名男生有 ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，
aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共 15种情况，………………………………………10分
当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件 E 发生，所以事件 E包含的基本事件为 ab，
7
ac，ad，bc，bd，cd，AB共 7种情况，所以 P E ．…………………………………12分
15
21.(1)令 t log2x ， f t 2t 2 4t 16 22，即 t 2 2t 3 0，解得 t 1或 t 3，所以
log2x 1或 log2x 3，解得 x

0,
1
8, ；…………………………………………4分
2
(2)依题意得， 2x2 ax a2 0，即 x a 2x a 0，…………………………………5分
a
当 a 0 x 时， ,a

；当 a 0时， x

的解集为空集；当 a 0时， x a,
a
； …8分
2 2
4
(3)依题意得 x2 x ax 4 0，因为 x 1,3 ，所以 a 1 x ， ……………………9 分
x
又 x 1,3 x 4， 4，当且仅当 x 2时，取得等号，所以 a 1 4，即 a 5.………12分
x
22.（1）由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型③，…………1 分
由表格中的数据可得 ta s 28,ta2 s 36,ta3 s 52 ，解得 a 2,t 4, s 20， ……3 分
x x 2 *
故函数模型的解析式为 y 4 2 20 2 20 x N ， ………………………………4 分
当 x 4时，预测 2023年年末的会员人数为 4 24 20 84千人； ………………………6分
20 4
（ 2）由题知，对 x N* ，都有 4 2x 20 k 4x ，令 t 2x 2 ，则 k 2 ，令t t
m 1 0, 1 2 ，则不等式右边等价于函数 f (m) 20m 4m ，因为函数 f m 在区间t 2
0, 1 1 1 1 上单调递增，所以 f (m) f2 max
20 4 7，…………………………10 分
2 4 2
故 k 7，即 k 的最小值为 7 .…………………………………………………………………12 分
命题：王丽英（萍乡中学） 吴兰兰（莲花中学） 李 英（安源中学）
审核：胡 斌（市教研室）
试卷第 7页，共 7页
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