河南省商丘市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（B版）（含解析）

商丘市2023-2024学年高一上学期期末考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则的值为（ ）
A.1 B. C.1或 D.1或2
2.下列与角终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知幂函数的图象过点，则（ ）
A.为减函数 B.的值域为
C.为奇函数 D.的定义域为
5.若把函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，最后把图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.对任意的，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.表示不超过的最大整数，称为高斯函数，高斯函数在数学及工程学等领域有着广泛应用.下列式子的值一定为0的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A.在区间上有且仅有4条对称轴
B.的最小正周期可能是
C.的取值范围是
D.在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则的最小值为______.
13.已知，则______.
14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知角的终边经过点，为第一象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数的值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）填写下表，并画出在上的图象；
0
（2）写出的解集.
18.（本小题满分17分）
过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10~20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求.随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能.科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻.某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的指数函数；当时，是的二次函数.性能指标值越大，性能越好，测得数据如下表（部分）：
（单位：克） 1 4 6 …
2 8 4 …
（1）求关于的函数关系式；
（2）求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.
2023~2024学年度高一上学期期末考试试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由得或，即或，当时，；当时，，都符合题意.故选C.
2.D 与角终边相同的角为，当时，可得.故选D.
3.A 若，则，，若，则.故“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4.B 设，将代入，得，解得，故，易知在上单调递增，在上单调递减，且值域为，故A错误，B正确；的定义域为，且，为偶函数，C，D错误.故选B.
5.A 函数的图象上各个点的横坐标缩短为原来的得到，然后向上平移4个单位长度得到，向右平移个单位长度得到，所以.故选A.
6.B 因为，，，所以.故选B.
7.C ，为奇函数，故图象关于原点对称，排除A和D.当，，即，，所以图象与轴无交点，排除B.故选C.
8.D 函数，定义域为，图象关于直线对称，当时，函数单调递增..故选D.
9.ACD 对于A，，对于任意的恒成立；
对于B，当时，，所以原不等式不恒成立；
对于C，，对于任意的恒成立；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选ACD.
10.AC ，，A正确；，B错误；，，C正确；当时，，D错误.故选AC.
11.CD 由函数，令，，则，，
函数在区间上有且仅有3个零点，即有且仅有3个整数符合，
由，得，则，，，
即，，故C正确；
对于A，，，.
当时，在区间上有且仅有3条对称轴；
当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；
对于B，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；
对于D，，，
又，，所以在区间上单调递增，故D正确.故选CD.
12.5 ，，当且仅当时取等号，所以的最小值为5.
13. 因为，所以的周期.
又，，，，，，
所以.
又，所以.
14. 由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知
解得，故实数的取值范围为.
15.解：（1）角的终边经过点，为第一象限角，，
，，，
.
（2）由（1）得，，，
，
.
16.解：（1）令，则，
由，得.
故当时，.
（2）由，，所以，
解得或或（舍）.
故的值为1或.
17.解：（1）
0
0 0
（2）由，得，，
故的解集为.
18.解：（1）当时，是的指数函数，设（且），
由数表知，满足指数函数解析式，于是得，
即当时，；
易知时，.
当时，是的二次函数，设，
显然，，满足二次函数解析式，即
解得，，，
即当时，.
所以关于的函数关系式
（2）当时，，则当时，取得最大值4；
当时，，则当时，取得最大值8，而.
因此当时，取得最大值8.
综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳.
19.解：（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
（2）由题意可知，即，
即.
又，令，，
易知在上单调递减，
所以，所以，
因为，，所以.
故实数的取值范围为.