河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-02 00:00:00 | ||
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文档简介
2023-2024学年（上）高二年级期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与共线，则（ ）
A． B．0 C．2 D．6
3．已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
4．已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．0或 C． D．0或
5．记数列的前n项和为，已知，且，则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，M为棱PC的中点，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为（ ）
A．0 B． C． D．32
8．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与E交于点A，B，过点A作E的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
注：S表示面积．
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C．是等差数列 D．是递增数列
10．已知曲线，则（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当时，曲线C是以直线为渐近线的双曲线
C．存在实数m，使得C过点
D．当时，直线总与曲线C相交
11．已知圆和圆，则（ ）
A．圆与x轴相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
D．两圆的公切线段长为
12．已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和CD的中点，G是棱上的一点，P是正方形内一动点，且点P到直线与直线BC的距离相等，则（ ）
A． B．点到直线AF的距离为
C．存在点G，使得平面 D．动点P在一条抛物线上运动
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，向量分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则________．
14．记等比数列的前n项和为，已知，且，写出满足条件的一个的通项公式：________．
15．已知是双曲线的左、右焦点，P为C上一点，且（O为坐标原点），，则C的离心率为________．
16．已知数列的通项公式为，其前n项和为，不等式对任意的________恒成立，则的最小值为________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项
（I）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，，O为棱AD的中点，平面ABCD，．
（I）求证：；
（Ⅱ）求直线PC与平面POB所成角的正弦值．
19．（12分）3类
已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且．
（I）求a的值；
（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点D的两点M，N，若，求直线MN的方程．
20．（12分）
已知数列的各项都是正数，前n项和为，且．
（I）证明：是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为．
（I）求三棱柱的高；
（Ⅱ）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆的上顶点为，右顶点为B，且直线AB的斜率为．
（I）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于P，Q两点（异于点B），且满足，求面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．答案 A
命题意图 本题考查抛物线的准线
解析 因为抛物线的准线方程是，故选A．
2．答案 C
命题意图 本题考查空间向量的坐标运算．
解析 因为向量与共线，所以，所以，故．
3．答案 B
命题意图 本题考查等比数列的性质
解析 设的公比为q，则，所以，所以．
4．答案 B
命题意图 本题考查直线与直线垂直
解析 若，则有，解得或．
5．答案 C
命题意图 本题考查数列的求和
解析 因为，所以，
所以．
6．答案 A
命题意图 本题考查空间向量的线性运算
解析 ，所以
，．
7．答案 B
命题意图 本题考查数列的递推关系、周期数列求和
解析 数列的前两项都是奇数，由两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…，所以数列的前若干项依次为，将看作组，每组3个数的和为，所以数列的前100项的和为．
8．答案 C
命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系
解析 如图，由椭圆的光学性质可得三点共线．设，则，．故，解得．又，所以，，所以．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．答案 AC
命题意图 本题考查数列的性质
解析 ，故A正确；当时，，当时，，不适合上式，故B错误；从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；因为，故D错误．
10．答案 ABC
命题意图 本题考查圆锥曲线的方程与性质
解析 当时，方程表示的曲线是椭圆，放A正确；当时，方程为，其渐近线方程为，故B正确；令，整理得（且），此方程有解，故C正确；当时，曲线C为双曲线，直线为C的一条渐近线，此时无交点，故D错误．
11．答案 ACD
命题意图 本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系
解析 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．
对于A，显然圆与x轴相切，故A正确；
对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；
对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；
对于D，因为，所以公切线段长为，故D正确．
12．答案 AD
命题意图 本题考查空间向量在立体几何中的应用
解析 建立如图所示的空间直角坐标系
对于A，易知，所以，，所以，所以，故A正确；
对于B，易得，则在方向上的投影向量的模为，则点到直线AF的距离为，故B错误；
对于C，易知平面的一个法向量为，而，故C错误；
对于D，因为平面，平面，所以，点P到直线BC的距离即点P到点B的距离，所以P点的轨迹是以B为焦点，所在直线为准线的抛物线的部分，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．答案
命题意图 本题考查直线的方向向量
解析 设所成的角为，由题意知，解得．
14．答案 或或（任填一个即可）
命题意图 本题考查等比数列的性质
解析 设公比为q．由，可得，则或，所以q的值可以是．当时，，得，所以．同理，当时，可得，当时，可得．
15．答案
命题意图 本题考查双曲线与直线的位置关系
解析 设双曲线的半焦距为，则．因为，所以，在中，，所以为等边三角形，所以，根据双曲线定义可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以C的离心率为．
16．答案
命题意图 本题考查数列的综合性质．
解析 由题意可得，当n为奇数时，，随着n值的增大而减小，所以，当n为偶数时，，随着n值的增大而增大，所以，所以，又因为函数在上单调递增，所以当时，所以，所以的最小值为．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等比数列与等差数列的性质，等羞数列求和
解析 （I）设的公比为，
因为成等差数列，所以， 1分
即，解得或1（舍去）． 3分
所以． 5分
（Ⅱ）由（I）可知的前三项为 6分
所以， 7分
所以． 8分
所以． 10分
18．命题意图 本题考查空间向量在立体几何中的应用．
解析 由题可知OP，AD，AB两两互相垂直，所以以OA所在直线为x轴，过O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系． 1分
（I）易知 2分
所以，所以． 4分
所以． 5分
（Ⅱ）因为平面ABCD，所以． 6分
由（I）知，又，
所以平面POB，即是平面POB的一个法向量． 8分
又因为 9分
所以， 11分
所以直线PC与平面POB所成角的正弦值为． 12分
19．命题意图 本题考查直线与圆的位置关系．
解析 （I）由题意可知圆C的圆心为，半径． 1分
因为，所以，从而， 3分
即，两边平方整理得，
又因为，所以项． 5分
（Ⅱ）由（I）知圆，点在圆C上，
又因为，所以线段MN为圆C的直径，即直线MN过圆心，
显然直线MN的斜率不为0，设其方程为常， 7分
点到直线MN的距离为． 8分
根据三角形的面积公式可得． 9分
所以，解得， 11分
所以直线MN的方程为或． 12分
20．命题意图 本题考查数列的递推关系以及数列求和
解析 （I）在中，令，得， 2分
当时，由，得， 4分
整理得， 5分
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 6分
（Ⅱ）由（I）知． 7分
所以①，
②， 9分
①-②，得， 11分
所以． 12分
21．命题意图 本题考查立体几何综合问题以及空间向量的应用．
解析 （（I）设三棱柱的高为h．
因为，
所以． 2分
因为， 3分
所以，即三棱柱的高为． 5分
（Ⅱ）过点作于点O，连接BO．
因为平面平面，平面平面，所以平面ABC．
由（I）知，又因为为锐角，所以． 6分
在中，，所以．
以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 7分
则，
所以．
设平面的法向量为，
则得取， 9分
易知平面ABC的一个法向量为． 10分
所以，
所以二面角的余弦值为． 12分
22．命题意图 本题考查椭圆的性质、椭圆与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）依题意可得， 1分
由，得， 3分
所以C的方程为． 4分
（Ⅱ）易知l不与x轴平行，设其方程为，
由得, 5分
由，得．
设，则①， 6分
，即，
所以，
将①代入，整理得，即，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，即直线l过定点 8分
9分
， 10分
令，则，
，
当，即时，最大，且最大值为． 12分
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与共线，则（ ）
A． B．0 C．2 D．6
3．已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
4．已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．0或 C． D．0或
5．记数列的前n项和为，已知，且，则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，M为棱PC的中点，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为（ ）
A．0 B． C． D．32
8．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与E交于点A，B，过点A作E的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
注：S表示面积．
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C．是等差数列 D．是递增数列
10．已知曲线，则（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当时，曲线C是以直线为渐近线的双曲线
C．存在实数m，使得C过点
D．当时，直线总与曲线C相交
11．已知圆和圆，则（ ）
A．圆与x轴相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
D．两圆的公切线段长为
12．已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和CD的中点，G是棱上的一点，P是正方形内一动点，且点P到直线与直线BC的距离相等，则（ ）
A． B．点到直线AF的距离为
C．存在点G，使得平面 D．动点P在一条抛物线上运动
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，向量分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则________．
14．记等比数列的前n项和为，已知，且，写出满足条件的一个的通项公式：________．
15．已知是双曲线的左、右焦点，P为C上一点，且（O为坐标原点），，则C的离心率为________．
16．已知数列的通项公式为，其前n项和为，不等式对任意的________恒成立，则的最小值为________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项
（I）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，，O为棱AD的中点，平面ABCD，．
（I）求证：；
（Ⅱ）求直线PC与平面POB所成角的正弦值．
19．（12分）3类
已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且．
（I）求a的值；
（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点D的两点M，N，若，求直线MN的方程．
20．（12分）
已知数列的各项都是正数，前n项和为，且．
（I）证明：是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为．
（I）求三棱柱的高；
（Ⅱ）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆的上顶点为，右顶点为B，且直线AB的斜率为．
（I）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于P，Q两点（异于点B），且满足，求面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．答案 A
命题意图 本题考查抛物线的准线
解析 因为抛物线的准线方程是，故选A．
2．答案 C
命题意图 本题考查空间向量的坐标运算．
解析 因为向量与共线，所以，所以，故．
3．答案 B
命题意图 本题考查等比数列的性质
解析 设的公比为q，则，所以，所以．
4．答案 B
命题意图 本题考查直线与直线垂直
解析 若，则有，解得或．
5．答案 C
命题意图 本题考查数列的求和
解析 因为，所以，
所以．
6．答案 A
命题意图 本题考查空间向量的线性运算
解析 ，所以
，．
7．答案 B
命题意图 本题考查数列的递推关系、周期数列求和
解析 数列的前两项都是奇数，由两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…，所以数列的前若干项依次为，将看作组，每组3个数的和为，所以数列的前100项的和为．
8．答案 C
命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系
解析 如图，由椭圆的光学性质可得三点共线．设，则，．故，解得．又，所以，，所以．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．答案 AC
命题意图 本题考查数列的性质
解析 ，故A正确；当时，，当时，，不适合上式，故B错误；从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；因为，故D错误．
10．答案 ABC
命题意图 本题考查圆锥曲线的方程与性质
解析 当时，方程表示的曲线是椭圆，放A正确；当时，方程为，其渐近线方程为，故B正确；令，整理得（且），此方程有解，故C正确；当时，曲线C为双曲线，直线为C的一条渐近线，此时无交点，故D错误．
11．答案 ACD
命题意图 本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系
解析 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．
对于A，显然圆与x轴相切，故A正确；
对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；
对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；
对于D，因为，所以公切线段长为，故D正确．
12．答案 AD
命题意图 本题考查空间向量在立体几何中的应用
解析 建立如图所示的空间直角坐标系
对于A，易知，所以，，所以，所以，故A正确；
对于B，易得，则在方向上的投影向量的模为，则点到直线AF的距离为，故B错误；
对于C，易知平面的一个法向量为，而，故C错误；
对于D，因为平面，平面，所以，点P到直线BC的距离即点P到点B的距离，所以P点的轨迹是以B为焦点，所在直线为准线的抛物线的部分，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．答案
命题意图 本题考查直线的方向向量
解析 设所成的角为，由题意知，解得．
14．答案 或或（任填一个即可）
命题意图 本题考查等比数列的性质
解析 设公比为q．由，可得，则或，所以q的值可以是．当时，，得，所以．同理，当时，可得，当时，可得．
15．答案
命题意图 本题考查双曲线与直线的位置关系
解析 设双曲线的半焦距为，则．因为，所以，在中，，所以为等边三角形，所以，根据双曲线定义可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以C的离心率为．
16．答案
命题意图 本题考查数列的综合性质．
解析 由题意可得，当n为奇数时，，随着n值的增大而减小，所以，当n为偶数时，，随着n值的增大而增大，所以，所以，又因为函数在上单调递增，所以当时，所以，所以的最小值为．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等比数列与等差数列的性质，等羞数列求和
解析 （I）设的公比为，
因为成等差数列，所以， 1分
即，解得或1（舍去）． 3分
所以． 5分
（Ⅱ）由（I）可知的前三项为 6分
所以， 7分
所以． 8分
所以． 10分
18．命题意图 本题考查空间向量在立体几何中的应用．
解析 由题可知OP，AD，AB两两互相垂直，所以以OA所在直线为x轴，过O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系． 1分
（I）易知 2分
所以，所以． 4分
所以． 5分
（Ⅱ）因为平面ABCD，所以． 6分
由（I）知，又，
所以平面POB，即是平面POB的一个法向量． 8分
又因为 9分
所以， 11分
所以直线PC与平面POB所成角的正弦值为． 12分
19．命题意图 本题考查直线与圆的位置关系．
解析 （I）由题意可知圆C的圆心为，半径． 1分
因为，所以，从而， 3分
即，两边平方整理得，
又因为，所以项． 5分
（Ⅱ）由（I）知圆，点在圆C上，
又因为，所以线段MN为圆C的直径，即直线MN过圆心，
显然直线MN的斜率不为0，设其方程为常， 7分
点到直线MN的距离为． 8分
根据三角形的面积公式可得． 9分
所以，解得， 11分
所以直线MN的方程为或． 12分
20．命题意图 本题考查数列的递推关系以及数列求和
解析 （I）在中，令，得， 2分
当时，由，得， 4分
整理得， 5分
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 6分
（Ⅱ）由（I）知． 7分
所以①，
②， 9分
①-②，得， 11分
所以． 12分
21．命题意图 本题考查立体几何综合问题以及空间向量的应用．
解析 （（I）设三棱柱的高为h．
因为，
所以． 2分
因为， 3分
所以，即三棱柱的高为． 5分
（Ⅱ）过点作于点O，连接BO．
因为平面平面，平面平面，所以平面ABC．
由（I）知，又因为为锐角，所以． 6分
在中，，所以．
以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 7分
则，
所以．
设平面的法向量为，
则得取， 9分
易知平面ABC的一个法向量为． 10分
所以，
所以二面角的余弦值为． 12分
22．命题意图 本题考查椭圆的性质、椭圆与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）依题意可得， 1分
由，得， 3分
所以C的方程为． 4分
（Ⅱ）易知l不与x轴平行，设其方程为，
由得, 5分
由，得．
设，则①， 6分
，即，
所以，
将①代入，整理得，即，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，即直线l过定点 8分
9分
， 10分
令，则，
，
当，即时，最大，且最大值为． 12分
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