2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答
科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C B D A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的。
注意：全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有错选的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC AD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 1 14 4． ． 15．12 2 16．(1,2)
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10分）
2 6 3 0
解：273 16 + eln3 log23 log 32 + 2024
2 4 3
3 lg3 lg2= (3 )3 26 + 3 + 1
lg2 1
2 lg3
= 9 4 + 3 2 + 1
= 7
18. （12分）
（1） 因为 > 1，所以 1 > 0，
1 1
所以 = 4 1 + + 4 ≥ 2 4 1 × + 4 = 4 + 4 = 8，
1 1
当且仅当 4 1 = 1 ，即 = 3时等号成立，
1 2
所以 = 4 + 1 的最小值为 8.
1
（2） 因为 , 均为正实数， + 2 = 1，
所以 + 1 > 0， > 0， + 1 + 2 = 2，
4 + 1 = 4则 + 2 = 1 4 + 2 + 1 + 2
+1 +1 2 2 +1 2
= 1 6 + 8 + +1 ≥ 1 6 + 2 8 +1 = 3 + 2 2，
2 +1 2 +1
8 = +1当且仅当 ，即 = 3 2 2, = 2 1时等号成立，
+1
4 + 1所以 的最小值为 3 + 2 2.
+1
1
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
19. （12分）
（1）由题意知， = tan 2 + π的图象关于点 , 0 对称，
8
∴ 2 × π + = π , ∈ ，
8 2
= π即 + π , ∈ ．
2 4
∵ 0 < < π , ∴ = π，
2 4
故 = tan 2 + π ．
4
π令 + π < 2 + π < π + π, ∈ ，
2 4 2
3π
得 + π < 2 < π + π, ∈ ，
4 4
3π + π即 < < π + π , ∈ ．
8 2 8 2
∴函数 3π的单调递增区间为 + π , π + π , ∈ ．
8 2 8 2
2 π（ ）由（1）知， = tan 2 + ．
4
1 ≤ tan 2 + π由 ≤ 3，
4
π
得 + π ≤ 2 + π ≤ π + π, ∈ ，
4 4 3
π π π π
即 + ≤ ≤ + , ∈ ．
4 2 24 2
∴ π π π π不等式 1 ≤ ≤ 3的解集为 + ≤ ≤ + , ∈ .
4 2 24 2
20. （12分）
（1） ( )在区间( ∞, + ∞)上的单调递增．
证明如下：对任意 1, 2 ∈ ( ∞, + ∞)，且 1 < 2，
= 2 2 = 2 2 = 2 e
1 e 2
1 2 e 1+1 e 2+1 e 2+1 e
，
1+1 e 1+1 e 2+1
因为 = e 在(0, + ∞)单调递增，且 1 < 2，所以e 1 < e 2，即e 1 e 2 < 0，
1 2
又e 1 + 1 > 0, e 2 + 1 > 0 2 e e，则
e
< 0，
1+1 e 2+1
即 ( 1) ( 2) < 0，所以 1 < 2 ，
所以 ( )在区间( ∞, + ∞)上单调递增．
（2）假设存在实数 a，使函数 ( )为奇函数，
则对任意 ∈ ，
都有 ( ) + ( ) = 2 + 2 = 2 + 2
e +1 e +1 1
e +1 e
+1
= 2 2 e +1 = 2 2 = 0，解得 = 1，
e +1
故存在实数 ，使函数 ( )是奇函数．
2
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
21. （12分）
（1）过 A，D 作水平线 1, 2，作 ⊥ 2, ⊥ 1如图，
π
当倾斜角 = 时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
4
= + = 0.8sin π + 2.4cos π = 8 2 < 2.3，
4 4 5
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
（2）延长 与直角走廊的边相交于 、 ，
= + = 1.8 + 1.8则 ， = 1.2 ， = 1.2tan ，
sin cos tan
又 = ，
= 1.8 + 1.8 1.2(tan + 1 ) = 1.8(sin +cos ) 1.2则 ， ∈ 0, π ．
sin cos tan sin cos 2
设 = sin + cos = 2sin + π ，
4
因为 ∈ 0, π π π 3π，所以 + ∈ , ，所以 ∈ (1, 2]，
2 4 4 4
= 1.8 1.2 6 3 2则 1 2 = 1 5 2 ， 12
= 3 2 = 6 再令 ，则 = 54 1 , ∈ (1,3 2 2]，
5 +2 2 5 5+4
3 1
易知， = 5 + 4在(1,3 2 2]上单调递增，
所以 = 54 15 , ∈ (1,3 2 2]单调递减，5 +4
故当 = 3 2 2，即 = 2 = π 18 2 12， 时， 取得最小值 ≈ 2.69.
4 5
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为 2.6米．
22. （12分）
解：（1）（本小问只要回答结论即可）∵ 1 = 9 2·3 = 3 1
2 1 ∴ 1 的值域为[ 1, + ∞)
∴ 1 不是 R上的有界函数，
2 2
2 = 2
=
2 + 3 + 3 2
≥ 0 3时， + ≥ 2 3 ，此时 2 ≤ 3 1
< 0时， 2( ) ≥
1 3
，此时 2 ≤
3 1 ∴
2 2 2
≤ 3 1
∴ 2 是 R上的有界函数
（2） = log +11 = log1 1 + 2 ，易知 在区间 2,3 上单调递增，
2 1 2 1
∴ ∈ log23, 1 , ∈ [2,3].∴ = log
1+
1 ∈ 1, log
1 2
3 ，
2
所以上界 构成的集合为 log23, + ∞ ．
3
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
（3） = 2+ 3 = 1 +
1
，
1+ 3 1+ 3
当 = 0 时， = 2， = 2，此时 的取值范围是 2, + ∞ ，
当 > 0 时， = 1 + 1 在 0,1 上是单调递减函数，1+ 3
∈ 2+3 , 2+ 2+3 其值域为 ，故 ∈ , 2+ ，
1+3 1+ 1+3 1+
2+
此时 的取值范围是 , + ∞ ，
1+
当 < 0 时，1 + 3 ∈ 3 + 1, + 1 ，若 在 0,1 上是有界函数，
则区间 0,1 为 定义域的子集，所以 3 + 1, + 1 不包含 0，
所以 3 + 1 > 0或 + 1 < 0 1，解得： < 1或 < < 0，
3
< 0时， = 1 + 1 在 0,1 上是单调递增函数，1+ 3
此时 +2 3 +2的值域为 , ，
+1 3 +1
3 +2 ≥ +2① ，即 ≤ 3 3 1 3 +2 3 +2或 < < 0 时， ≤ = ，
3 +1 +1 3 3 3 +1 3 +1
3 +2
此时 的取值范围是 , + ∞ ，
3 +1
3 +2 < +2 3 3 < < 1 ≤ +2 = +2② ，即 时， ，
3 +1 +1 3 +1 +1
+2
此时 的取值范围是 , + ∞ ，
+1
综上：当 ≥ 0时，存在上界 ， ∈ +2 , + ∞ ；
+1
当 ≤ 1 3 1 3 +2或 < < 0 时，存在上界 ， ∈ , + ∞ ；
3 3 3 +1
1 3当 < < 1 ∈ +2时，存在上界 ， , + ∞ ，
3 +1
当 1 ≤ ≤ 1时，此时不存在上界 ．
3
4
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
1．cos225°的值是
A 2 1 2 3． B． C． D．
2 2 2 2
2．已知集合 = > 1 ， = 1 < < 3 ，则 ∩ =
A． 1,3 B． 1,3 C． 1, + ∞ D． 1, + ∞
1 0.33．设 = 2 0.5， = ， = log0.50.3，则 , , 的大小关系为2
A． < < B． < < C． < < D． < <
4．若 cos + π =3 π，则 sin =
6 5 3
A． 4 B 4 3 3． C． D．
5 5 5 5
5 1．函数 = log2 3
1
的零点所在区间为
2 2
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
6．生物体死亡后，它机体内原有的碳 14含量 P 会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P 与死亡年数 t 之
1
间的函数关系式为 = ( ) (其中 a 为常数)，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
2
衰期”.若 2021年某遗址文物出土时碳 14的残余量约占原始含量的 79%，则可推断该文物属于
（参考数据：log20.79 ≈ 0.34.） 参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
7 = 3
3+3sin
．函数 的大致图象为e +e
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，则“ + 1 + = 0”是“ 是周期为 2的周期函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
高一数学 — 1— （共 4页）
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的。
9．已知实数 , , ，其中 > > 1，则下列关系中恒成立的是
A． > 2 B． 2 < 2 C． > D + 1． > + 1
10 π．已知函数 = cos 2 + ，则下列说法错误的是
12
A．函数 的最小正周期为π B 11．函数 的图象关于点 π, 0 对称
24
C．函数 7π π的图象关于直线 = 对称 D．函数 在 0, 上单调递减
24 4
11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史
料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用
自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 (3, 3 3)出发，沿圆周按逆时针
方向匀速旋转，且旋转一周用时 120秒.经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设点 P 的坐标为( , )，
其纵坐标满足 = ( ) = sin( + ) ≥ 0, > 0, | | < ，
2
则下列叙述正确的是
A ．水斗作周期运动的初相为
3
B．在水斗开始旋转的 60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的 60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是 3 3
D．当水斗旋转 100秒时，其和初始点 A 的距离为 6
12．一般地，若函数 的定义域为 , ，值域为 , ，则称 , 为 的“ 倍美好区间”，特别地，
当 = 1时，则称 , 为 的“完美区间”．则下列说法正确的是
A．若 1, 为函数 = 2 2 + 2的“完美区间”，则 = 2
B．函数 = log 12 ，存在“ 倍美好区间”2
C．函数 = 2 2 ，不存在“完美区间”
D．函数 = 2 ，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若幂函数 ( ) = 2 + 5 + 5 +3在(0, + ∞)上单调递增，则 = .
14 π．若扇形的周长为 10cm，面积为 6cm2，圆心角为 0 < < ，则 = .
2
15 1 1 2．已知 1, 22为方程 + = 0的两个实数根，且 , ∈ 0,
π
， 1 = 3 2，则 tan tan tan + 3 2
的最大值为 .
16．已知函数 ( ) = | 2 | 2|| + ，若函数 ( )恰有 4个零点，则实数 的取值范围
是 ．
高一数学 — 2— （共 4页）
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
2 3
计算：273 6 16 + eln3 log 023 log 32 + 2024 ；
18．（12分）
（1 1）已知 > 1，求 = 4 + 的最小值；
1
（2）若 , 4 1均为正实数，且满足 + 2 = 1，求 + 的最小值.
+1
19．（12分）
已知函数 = tan 2 + （0 < < π π）的图象关于点 ,0 对称.
2 8
(1)求 ( )的单调递增区间;
(2)求不等式 1 ≤ ≤ 3的解集.
20．（12分）
对于函数 = 2 , ∈ ．e +1
(1)判断函数 ( )的单调性，并给出证明；
(2)是否存在实数 a 使函数 ( )为奇函数？
21．（12分）
网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小福正在配送客户购买的电冰箱，并获
得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
高一数学 — 3— （共 4页）
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
(1) π为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 不能超过 ，
4
且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图 1所示，记长方体的纵截面为矩形 ，
= 0.8m π， = 2.4m，而客户家门高度为 2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角 = 的方式进客
4
户家门，小福能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
(2)由于客户选择以旧换新服务，小福需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小福选择将
冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到
一处直角过道，如图 2所示，过道宽为 1.8米．记此冰箱水平截面为矩形 ， = 1.2m．设∠ = ，
当冰箱被卡住时(即点 、 分别在射线 、 上，点 在线段 上），尝试用 表示冰箱高度 的长，
并求出 的最小值，最后请帮助小福得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？
（结果精确到 0.1m）
22．（12分）
若函数 与区间 同时满足：①区间 为 的定义域的子集，②对任意 ∈ ，存在常数 0，使得
≤ 成立，则称 是区间 上的有界函数，其中 称为函数 的一个上界．
（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
(1)试判断函数 1 = 9 2 3 ， 2 =
2
2 是否是 R上的有界函数；（直接写结论） 2 +3
(2)已知函数 = log +11 是区间 2,3 上的有界函数，求函数 在区间 2,3 上的所有上界 构成的集
2 1
合；
(3) 2+ 3对实数 进行讨论，探究函数 = 在区间 0,1 上是否存在上界 ？若存在，求出 的取值范围；
1+ 3
若不存在，请说明理由．
高一数学 — 4— （共 4页）
{#{QQABIQQUggCoABBAAAgCAwGICkEQkBCAACoOBBAAMAIACRFABAA=}#}
