福州一中 2023-2024 学年第一学期第二学段模块考试
高二数学选择性必修二模块试卷
（完卷 120 分钟 满分 150 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．正项等比数列 an 中，a 22 ,a8是方程 x 10x 16 0的两根，则 log2 a5的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2 2
2. x y若双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为a b 3，则双曲线上的点到两焦
点距离之差的绝对值为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．2 3
1
3 3．已知某物体的运动方程是 s t t （ s的单位为 m），该物体在 t 3s时的瞬时加速度是（ ）
9
A．2m /s B．4m /s C． 2m / s2 D． 4m / s2
4. 已知短轴长为 2的椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭
圆的离心率为（ ）
A 2 3 B 6 C 6 D 3． ． ． ．
3 3 6 6
a 1 15 a n S a 2 n N ．数列 n 的前 项和为 n，且满足 1 ， n 1 a ，则2S2024 （ ）n
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
6．已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种
5
昆虫最开始的身体长度记为 a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的 ，此时昆虫的长6
1
度记为 a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的 ，此时昆虫的长度记为a2 3
，
然后进入下一次蜕皮，以此类推．若 a4 25，则 a1 （ ）
27 243
A．18 B． C． D．
2 24 16
x2 27 y．已知椭圆 2 1(a b 0)与直线 x 2y 4 0相切，则 a的值不可能是（ ）a b2
A． 3 B． 2 C．3 D．3.9
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4
8 x x．某数学兴趣小组研究曲线C1： y 1和曲线C 42： y 1的性质，下面同学提出的结论正确2 4
的有（ ）
甲：曲线C ，C2都关于直线 y x1 对称
x2
乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆C 23 : y 1内4
丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为 5
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
2 2
9．已知点 P x y是椭圆 1上的一点，F1,F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）4 3
A．存在点 P，使得 F1PF2 75 B． PF1 PF2 4
C．△PF1F2的面积最大值为 2 3 D．1 PF1 3
10．已知棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 为DD1的中点，动点N在平面 ABCD内的轨迹为曲
线 . 则下列结论正确的是（ ）
A．当MN B1N 时， 是圆
B．当动点N到直线DD1，BB1的距离之和等于4时， 是椭圆
C．当直线MN与平面 ADD1A1所成的角为60 时， 是双曲线
D．当动点N到点M 的距离等于点N到直线BC的距离时， 是抛物线
11.“0，1数列”是每一项均为 0或 1的数列，在通信技术中应用广泛. 设 A是一个“0，1数列”，定义数
列 f (A)：数列 A中每个 0都变为“1，0，1”，A中每个 1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列 A：
1，0，则数列 f (A)：0，1，0，1，0，1.已知数列 A1：1，0，1，0，1，且数列 Ak 1 f (Ak )， k 1，2，
3，…，记数列 Ak 中 0的个数为 ak ，1的个数为 bk ，数列 Ak 的所有项之和为 Sk，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 ak bk 为等比数列 B．数列 ak bk 为等比数列
C．数列 Sk Sk 1 为等比数列 D．数列 Sk Sk 1 为等比数列
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三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 等差数列 an 的前 n项和记为 Sn，且S5 10， S10 50，则 S14 .
13. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知 AB 4 2,
DE 2 5 ,则C的焦点到准线的距离为_________.
14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点
发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如左图，一个光学装置由有公共焦点F1、
F2的椭圆 与双曲线 构成， 与 的离心率之比为3: 4，现一光线从左焦点F1发出，依次经 与 反
射，又回到了点F1，历时 t1秒；若将装置中的 去掉，如右图，此光线从点F1发出，经 两次反射后
t2
又回到了点F1，历时 t2 秒，则 t __________.1
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13分）
3
已知函数 f x lnx ax a R ，且 f 1 4 .
(1) 求 a的值；
(2) 设 g x f x ln x x，求 y g x 过点 1,0 的切线方程.
16．（本小题 15分）
已知动点M (x, y)满足： (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 2 2 .
(1)求动点M 的轨迹方程C；
1
(2) 若过点 P 1, 的直线 l和曲线C A,B P2 相交于 两点，且 为线段 AB的中点，求直线 l的方程.
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17．（本小题 15分）
已知正项数列 a 2 2n 的前n项和为 Sn，且a1 1， S n 1 S n 8n．
(1)求 Sn；
(2) S若b nn 2 1，从 Sn 中删去 bn 中的项，按照原来的顺序构成新的数列 cn ，求 cn 的前100项和T100．
18．（本小题 17分）
x2 y2
若双曲线C : 2 2 1(a 0, b 0)的一个焦点是 F (2,0)，且离心率为 2.a b
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点M (0,1)，过焦点 F的直线 l与双曲线C的两支相交于 A,B两点，求直线MA和MB的斜率之和的
最大值.
19．（本小题 17分）
2
a n S n n *已知数列 n 的前 项和 n ，数列 bn 满足：b1 3，bn 1 2bn 1 n N ．2
(1)证明： bn 1 是等比数列；
n 2a 1
(2) n设数列{cn}的前n项和为T ，且cn 1n (a 1) log b T 1 ，求 n；n 2 n
an 1
,n 2k 1 a2a2 2n
(3)设数列 73dn 满足： d n n 2 *n ,k N ．证明： dk ．
a2n ,n 2k k 1 36
bn
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{#{QQABQQQQogAAAgAAAQhCEwXaCEAQkBGAACoOBBAAMAAAyANABAA=}#}参考答案
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
号
答 B B A
A C C B D C A C
案 D CD BC
518
12. ; 13. 4 ; 14. 8.
5
1
15. （1） f x 3ax2，由 f 1 1 3a 4知 a 1
x
2 x 3 2 2 3（ ）设切点为 0 , x0 x0 ， x0 0 ，则 f x0 3x0 1，则切线方程为 y 3x0 1 x x0 x0 x0，
因为切线过 1,0 3 2 3 2，代入切线方程得： x0 x0 3x0 1 1 x0 化简得2x0 3x0 1 0，
x 2 1则 0 1 2x0 1 0 x0 1或 x0 舍去 2
所以曲线过点 1,0 的切线方程为： y 2x 2 .
16. 解：（1）设 F1( 1,0)， F 2 22 (1,0)，M (x, y)，因为 (x 1) y (x 1)2 y2 2 2，
所以 MF2 MF1 2 2 ，且 2 2 F1F2 2，
所以点M 的轨迹C是以 F1( 1,0)， F2 (1,0)为焦点，长轴长为 2 2的椭圆.
C x
2 y2
设椭圆 的方程为 2 2 1(a b 0)，记a b c a
2 b2 ，则 2a 2 2 ，c 1，
x2
所以 a 2，c 1，所以b a2 c2 1，所以C的标准方程为 y2 1 .
2
x21
y
2
1 1 2
（2）设点 A x1, y1 ,B x2, y2 ，则 2 ，
x2 y2 2 1 2
x2 x2 x x y y
作差得 1 2 y2 y2 0 1 2 1 21 2 ，除以 x1 x2得 y1 y2 02 2 x1 x
，
2
又由点 P 1,
1
是 AB的中点，则有 x1 x2 2, y1 y2 1，所以 2(x1 x2 ) 2(y2 1
y2 ) 0，
k y1 y 2 1 l y 1
3
变形可得 AB ，所以直线 的方程是 (x 1)x x 即 y x 1
，
2 2 2
经检验符合题意，故直线 l的方程为 y x
3
.
2
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17. 解：（1）对任意的 n N ，因为 S 2 2n 1 S n 8n，
n 2 S 2 S 2 S 2 S 2 2 2当 时， n n n 1 2 S1 S1 8 n 1 8 1 1
n n 1
8 1 2 3
n 1 1 8 1 2n 1
2
，
2
因为 an 0，所以 Sn 0，故 Sn 2n 1．
当 n 1时， S1 a1 1适合 Sn 2n 1，所以 Sn 2n 1， n Ν ．
2 S 2n 1（ ）解：bn 2 n 1 2 1， S104 207，b4 2
7 1 127 S 9104，b5 2 1 511 S104
所以， cn 的前 100项是由 Sn 的前 104项去掉 bn 中的前 4项组成．所以
T100 S1 S2 S104 (b1 b2 b3 b4 )
1 207
104 (1 7 31 127)
2
10816 166
10650
c
18. 解：（1）由题意 c 2，e 2，又 c 2 a 2 b 2，则
a a
2 1， b2 3，
y2
所以，双曲线C的方程为 x2 1.
3
（2）由已知直线 l斜率存在，设为 l： y k x 2 ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
3x2 y2 3
联立 ，整理得： 3 k 2 x2 4k 2x 4k 2 3 0， 4 2 2 2 y k x 2 Δ 16k 4 3 k 4k 3 36k 36 0
Δ 16k 4 4 3 k 2 4k 2 3 36k 2 36 0
3 k 2 0
2
由题得： x x 4k1 2 ，解得 3 k 3， k 2 3
2
x1x
4k 3
2 2 0 k 3
k x 2 1 k x 2 1
k k 2kx x (2k 1)(x x )MA MB
1 2 1 2 1 2
x1 x2 x1 x2
2k(4k 2 3) (2k 1)4k 2 3(2k 1)
2 2 14k 3 4k 3
3t
设 t 2k 1 (1 2 3,1 2 3)，则 kMA kMB t2
1，
2t 4
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k k 3 1 3 1 1
因为求最大值，只需考虑 t (0,1 2 3)，则 MA MB t 4 2 2 4 2 2
t
k 1 1
当且仅当 t 2，即 2，等号成立，所以所求最大值为 2 .
19．解：（1）由bn 1 2bn 1，得bn 1 1 2 bn 1 ，
所以 bn 1 是以 2为首项，2为公比的等比数列，即bn 2n 1．
2 2
（2）当 n 1 n 1 n 1时，有 a1 S1 1，当 n 2时， an Sn S
n n
n 1 n，2 2
a 1 a n n c 1 n 2n 1 1 n 1 1显然 1 也满足，故 n ，结合bn 2 1，所以 n n n 1 = ， n n 1
1 1 1 1 1
故Tn 1 1
n 1 1 n 1 1 1 n 1 .
2 2 3 3 4 n n 1 n 1
n 1 1 1 1
（3）当 n为奇数时，dn n2 (n 2)2
4 2
，
n (n 2)
2
d d d d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 5 2n 1 4 32 32 52 (2n 1)2
1 ,
(2n 1)
2 4 2 (2n 1) 4
d 2n 2n当 n为偶数时， n n ,2 1 2n
d d 4 8 4n 1 2 n2 4 d6 d2n 22 24 22n
0 1 ，4 4 4n 1
Q 1 2 n 1 1 2 n 1 n设 n 0 4 41
4n 1
，则 Q
4 n
1 2 n 1 n ，4 4 4 4
1
3Q 1 1 1 ... 1 n
1 n n n 1
两式相减得 n 1 2 n 1 n
4
1
16 3n 4 1 16
n ，得Qn .4 4 4 4 4 1 4 9 9
4 9
4
2n
d d d d d d d 1 16 73k 1 3 2n 1 2 4 2n
k 1 4 9 36
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