福州一中 2023-2024 学年第一学期第二学段模块考试
高二数学选择性必修二模块试卷
(完卷 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.正项等比数列 an 中,a 22 ,a8是方程 x 10x 16 0的两根,则 log2 a5的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2 2
2. x y若双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为a b 3,则双曲线上的点到两焦
点距离之差的绝对值为( )
A.1 B. 3 C.2 D.2 3
1
3 3.已知某物体的运动方程是 s t t ( s的单位为 m),该物体在 t 3s时的瞬时加速度是( )
9
A.2m /s B.4m /s C. 2m / s2 D. 4m / s2
4. 已知短轴长为 2的椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭
圆的离心率为( )
A 2 3 B 6 C 6 D 3. . . .
3 3 6 6
a 1 15 a n S a 2 n N .数列 n 的前 项和为 n,且满足 1 , n 1 a ,则2S2024 ( )n
A.2024 B.2025 C.2026 D.2027
6.已知自然界中存在某种昆虫,其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替.该种
5
昆虫最开始的身体长度记为 a1,其在发育过程中先蜕皮,身体总长度减少为原来的 ,此时昆虫的长6
1
度记为 a2;蜕皮之后,迅速生长,当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的 ,此时昆虫的长度记为a2 3
,
然后进入下一次蜕皮,以此类推.若 a4 25,则 a1 ( )
27 243
A.18 B. C. D.
2 24 16
x2 27 y.已知椭圆 2 1(a b 0)与直线 x 2y 4 0相切,则 a的值不可能是( )a b2
A. 3 B. 2 C.3 D.3.9
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4
8 x x.某数学兴趣小组研究曲线C1: y 1和曲线C 42: y 1的性质,下面同学提出的结论正确2 4
的有( )
甲:曲线C ,C2都关于直线 y x1 对称
x2
乙:曲线C1在第一象限的点都在椭圆C 23 : y 1内4
丙:曲线C2上的点到原点的最大距离为 5
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
2 2
9.已知点 P x y是椭圆 1上的一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则下列说法正确的是( )4 3
A.存在点 P,使得 F1PF2 75 B. PF1 PF2 4
C.△PF1F2的面积最大值为 2 3 D.1 PF1 3
10.已知棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中,M 为DD1的中点,动点N在平面 ABCD内的轨迹为曲
线 . 则下列结论正确的是( )
A.当MN B1N 时, 是圆
B.当动点N到直线DD1,BB1的距离之和等于4时, 是椭圆
C.当直线MN与平面 ADD1A1所成的角为60 时, 是双曲线
D.当动点N到点M 的距离等于点N到直线BC的距离时, 是抛物线
11.“0,1数列”是每一项均为 0或 1的数列,在通信技术中应用广泛. 设 A是一个“0,1数列”,定义数
列 f (A):数列 A中每个 0都变为“1,0,1”,A中每个 1都变为“0,1,0”,所得到的新数列.例如数列 A:
1,0,则数列 f (A):0,1,0,1,0,1.已知数列 A1:1,0,1,0,1,且数列 Ak 1 f (Ak ), k 1,2,
3,…,记数列 Ak 中 0的个数为 ak ,1的个数为 bk ,数列 Ak 的所有项之和为 Sk,则下列结论正确的是( )
A.数列 ak bk 为等比数列 B.数列 ak bk 为等比数列
C.数列 Sk Sk 1 为等比数列 D.数列 Sk Sk 1 为等比数列
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三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 等差数列 an 的前 n项和记为 Sn,且S5 10, S10 50,则 S14 .
13. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知 AB 4 2,
DE 2 5 ,则C的焦点到准线的距离为_________.
14.光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点
发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出,如左图,一个光学装置由有公共焦点F1、
F2的椭圆 与双曲线 构成, 与 的离心率之比为3: 4,现一光线从左焦点F1发出,依次经 与 反
射,又回到了点F1,历时 t1秒;若将装置中的 去掉,如右图,此光线从点F1发出,经 两次反射后
t2
又回到了点F1,历时 t2 秒,则 t __________.1
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13分)
3
已知函数 f x lnx ax a R ,且 f 1 4 .
(1) 求 a的值;
(2) 设 g x f x ln x x,求 y g x 过点 1,0 的切线方程.
16.(本小题 15分)
已知动点M (x, y)满足: (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 2 2 .
(1)求动点M 的轨迹方程C;
1
(2) 若过点 P 1, 的直线 l和曲线C A,B P2 相交于 两点,且 为线段 AB的中点,求直线 l的方程.
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17.(本小题 15分)
已知正项数列 a 2 2n 的前n项和为 Sn,且a1 1, S n 1 S n 8n.
(1)求 Sn;
(2) S若b nn 2 1,从 Sn 中删去 bn 中的项,按照原来的顺序构成新的数列 cn ,求 cn 的前100项和T100.
18.(本小题 17分)
x2 y2
若双曲线C : 2 2 1(a 0, b 0)的一个焦点是 F (2,0),且离心率为 2.a b
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知点M (0,1),过焦点 F的直线 l与双曲线C的两支相交于 A,B两点,求直线MA和MB的斜率之和的
最大值.
19.(本小题 17分)
2
a n S n n *已知数列 n 的前 项和 n ,数列 bn 满足:b1 3,bn 1 2bn 1 n N .2
(1)证明: bn 1 是等比数列;
n 2a 1
(2) n设数列{cn}的前n项和为T ,且cn 1n (a 1) log b T 1 ,求 n;n 2 n
an 1
,n 2k 1 a2a2 2n
(3)设数列 73dn 满足: d n n 2 *n ,k N .证明: dk .
a2n ,n 2k k 1 36
bn
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{#{QQABQQQQogAAAgAAAQhCEwXaCEAQkBGAACoOBBAAMAAAyANABAA=}#}参考答案
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
号
答 B B A
A C C B D C A C
案 D CD BC
518
12. ; 13. 4 ; 14. 8.
5
1
15. (1) f x 3ax2,由 f 1 1 3a 4知 a 1
x
2 x 3 2 2 3( )设切点为 0 , x0 x0 , x0 0 ,则 f x0 3x0 1,则切线方程为 y 3x0 1 x x0 x0 x0,
因为切线过 1,0 3 2 3 2,代入切线方程得: x0 x0 3x0 1 1 x0 化简得2x0 3x0 1 0,
x 2 1则 0 1 2x0 1 0 x0 1或 x0 舍去 2
所以曲线过点 1,0 的切线方程为: y 2x 2 .
16. 解:(1)设 F1( 1,0), F 2 22 (1,0),M (x, y),因为 (x 1) y (x 1)2 y2 2 2,
所以 MF2 MF1 2 2 ,且 2 2 F1F2 2,
所以点M 的轨迹C是以 F1( 1,0), F2 (1,0)为焦点,长轴长为 2 2的椭圆.
C x
2 y2
设椭圆 的方程为 2 2 1(a b 0),记a b c a
2 b2 ,则 2a 2 2 ,c 1,
x2
所以 a 2,c 1,所以b a2 c2 1,所以C的标准方程为 y2 1 .
2
x21
y
2
1 1 2
(2)设点 A x1, y1 ,B x2, y2 ,则 2 ,
x2 y2 2 1 2
x2 x2 x x y y
作差得 1 2 y2 y2 0 1 2 1 21 2 ,除以 x1 x2得 y1 y2 02 2 x1 x
,
2
又由点 P 1,
1
是 AB的中点,则有 x1 x2 2, y1 y2 1,所以 2(x1 x2 ) 2(y2 1
y2 ) 0,
k y1 y 2 1 l y 1
3
变形可得 AB ,所以直线 的方程是 (x 1)x x 即 y x 1
,
2 2 2
经检验符合题意,故直线 l的方程为 y x
3
.
2
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17. 解:(1)对任意的 n N ,因为 S 2 2n 1 S n 8n,
n 2 S 2 S 2 S 2 S 2 2 2当 时, n n n 1 2 S1 S1 8 n 1 8 1 1
n n 1
8 1 2 3
n 1 1 8 1 2n 1
2
,
2
因为 an 0,所以 Sn 0,故 Sn 2n 1.
当 n 1时, S1 a1 1适合 Sn 2n 1,所以 Sn 2n 1, n Ν .
2 S 2n 1( )解:bn 2 n 1 2 1, S104 207,b4 2
7 1 127 S 9104,b5 2 1 511 S104
所以, cn 的前 100项是由 Sn 的前 104项去掉 bn 中的前 4项组成.所以
T100 S1 S2 S104 (b1 b2 b3 b4 )
1 207
104 (1 7 31 127)
2
10816 166
10650
c
18. 解:(1)由题意 c 2,e 2,又 c 2 a 2 b 2,则
a a
2 1, b2 3,
y2
所以,双曲线C的方程为 x2 1.
3
(2)由已知直线 l斜率存在,设为 l: y k x 2 , A x1, y1 , B x2 , y2 ,
3x2 y2 3
联立 ,整理得: 3 k 2 x2 4k 2x 4k 2 3 0, 4 2 2 2 y k x 2 Δ 16k 4 3 k 4k 3 36k 36 0
Δ 16k 4 4 3 k 2 4k 2 3 36k 2 36 0
3 k 2 0
2
由题得: x x 4k1 2 ,解得 3 k 3, k 2 3
2
x1x
4k 3
2 2 0 k 3
k x 2 1 k x 2 1
k k 2kx x (2k 1)(x x )MA MB
1 2 1 2 1 2
x1 x2 x1 x2
2k(4k 2 3) (2k 1)4k 2 3(2k 1)
2 2 14k 3 4k 3
3t
设 t 2k 1 (1 2 3,1 2 3),则 kMA kMB t2
1,
2t 4
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k k 3 1 3 1 1
因为求最大值,只需考虑 t (0,1 2 3),则 MA MB t 4 2 2 4 2 2
t
k 1 1
当且仅当 t 2,即 2,等号成立,所以所求最大值为 2 .
19.解:(1)由bn 1 2bn 1,得bn 1 1 2 bn 1 ,
所以 bn 1 是以 2为首项,2为公比的等比数列,即bn 2n 1.
2 2
(2)当 n 1 n 1 n 1时,有 a1 S1 1,当 n 2时, an Sn S
n n
n 1 n,2 2
a 1 a n n c 1 n 2n 1 1 n 1 1显然 1 也满足,故 n ,结合bn 2 1,所以 n n n 1 = , n n 1
1 1 1 1 1
故Tn 1 1
n 1 1 n 1 1 1 n 1 .
2 2 3 3 4 n n 1 n 1
n 1 1 1 1
(3)当 n为奇数时,dn n2 (n 2)2
4 2
,
n (n 2)
2
d d d d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 5 2n 1 4 32 32 52 (2n 1)2
1 ,
(2n 1)
2 4 2 (2n 1) 4
d 2n 2n当 n为偶数时, n n ,2 1 2n
d d 4 8 4n 1 2 n2 4 d6 d2n 22 24 22n
0 1 ,4 4 4n 1
Q 1 2 n 1 1 2 n 1 n设 n 0 4 41
4n 1
,则 Q
4 n
1 2 n 1 n ,4 4 4 4
1
3Q 1 1 1 ... 1 n
1 n n n 1
两式相减得 n 1 2 n 1 n
4
1
16 3n 4 1 16
n ,得Qn .4 4 4 4 4 1 4 9 9
4 9
4
2n
d d d d d d d 1 16 73k 1 3 2n 1 2 4 2n
k 1 4 9 36
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