2023-2024学年陕西省渭南重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省渭南重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，下列说法正确的是( )
A. 倾斜角为 B. 倾斜角为
C. 方向向量可以是 D. 方向向量可以是
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.设，，，向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.名同学进行队列训练，站成前排人后排人，现体育教师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )
A. B. C. D.
5.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.宁波某高中某次高二年级测试，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，该校有人参加此次测试，估计该校数学成绩不低于分的学生人数为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线：，则“”是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”的条件．( )
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
8.图是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面，其边缘距离底部的落差约为米，它的一个轴截面开口向上的抛物线的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点到底部水平线轴距离为，则点到该抛物线焦点的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A. 个球都是红球的概率为 B. 个球中恰有一个红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为 D. 个球不都是红球的概率为
10.已知直线：，圆：，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆恒有两个公共点
C. 直线被圆截得最短弦长为
D. 当时，点到直线距离最大值是
11.已知随机变量，二项式，则下列说法正确的是( )
A.
B. 二项式的展开式中所有项的系数和为
C. 二项式的展开式中含项的系数为
D. 的展开式中含项的系数为
12.为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如表：
其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为，并且计算相关系数，回归方程为，则( )
A. 点必在回归直线上，即
B. 变量，正相关
C. 当，则必有
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.随机变量的分布列如下表，则 ______； ______．
14.椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积是______．
15.一盒子装有件产品，其中有件一等品，件二等品从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为______．
16.如图，已知，，是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦距，若且，则该双曲线的离心率等于 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式方程：
经过点，斜率为；
在轴和轴上的截距分别是，．
18.本小题分
如图，在正方体中，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的余弦值．
20.本小题分
江苏省将对入学的高一年级学生开始实施高考综合改革，不分文理科，实行新的学业水平考试制度某校为研究高一学生选修物理与性别是否有关，随机选取名学生进行调查，数据如表：
男生 女生 总计
选修物理
不选修物理
总计
从独立性检验角度分析，能否有的把握认为性别与是否选修物理有关？
从选取的名学生中任取一名，求该同学选修物理的概率；
将上述调查所得频率视为概率，现从该校该校高一学生很多所有高一女生中随机抽人，记被抽取的女生中选修物理的人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
21.本小题分
为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有个女生和个男生，乙组得满分的有个女生和个男生．现从得满分的学生中，每组各任选个学生，作为数学组的活动代言人．
求选出的个学生中恰有个女生的概率；
设为选出的个学生中女生的人数，求的分布列和数学期望．
22.本小题分
已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，．
求椭圆的方程；
若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的方程为，直线的斜率，
又，直线的倾斜角为，故A正确，B错误；
若直线 的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故C错误；
若直线 的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故D错误．
故选：．
根据直线的方程可得斜率，然后逐一求解得答案．
本题考查直线的方程，考查直线的倾斜角、斜率及方向向量的关系，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得，点关于轴的对称点的坐标为．
故选：．
根据空间中点的对称原则求解即可．
本题主要考查了空间中点的坐标，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，且，
则，解得，，解得，，
故，，，
则，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，求出，，，再结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是排列组合综合问题，把排列组合问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
首先从后排的人中选出人，有种结果，再把两个人在个位置中选个位置进行排列有，利用乘法原理可得结论．
【解答】
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先从后排的人中选出人，有种结果，
再把两个人在个位置中选个位置进行排列有，
不同的调整方法有，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，，
则，，画出图象，如图所示：
由图象可知，若直线与连接，两点的线段总有公共点，
则直线的斜率的范围为
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：成绩近似服从正态分布，
，
该校有人参加此次测试，估计该校数学成绩不低于分的学生人数，
故选：．
由成绩近似服从正态分布，可得，进而得出结论．
本题考查了正态分布的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：曲线方程可化简为
当时，可得，，即，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，
综上可知“”是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选：．
由代入检验曲线方程，或根据椭圆的标准方程解不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断．
本题考查了椭圆的标准方程及其简单性质，充分必要条件的判定，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
设抛物线为且，根据在抛物线上求，利用抛物线定义求到该抛物线焦点的距离．
【解答】
解：令抛物线方程为且，
由题设，在抛物线上，
则，解得，
又且，
则到该抛物线焦点的距离为米．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，个球都是红球的概率为，所以选项A正确；
对于，个球中恰有一个红球的概率为，所以选项B正确；
对于，至少有个红球的概率为，所以选项C错误；
对于，个球不都是红球的概率为，所以选项D正确．
故选：．
根据相互独立事件的概率乘法公式，计算对应的概率值即可．
本题考查了相互独立事件的概率乘法公式应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，直线：，令，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
对于，因为直线定点，且，
所以定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点，故B正确；
对于，当直线与过定点和圆心的直线垂直时直线被圆截得的弦长最短，
定点和圆心的距离为，所以最短弦长，故C错误；
对于，当时，直线：，圆心到直线的距离是，
所以点到直线的距离的最大值是，故D正确．
故选：．
利用直线系方程求得直线所过定点的坐标可判断；根据直线定点在圆内可判断；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，求出弦心距，利用勾股定理可判断；转化为圆心到直线的距离可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于中，因为随机变量且，所以，所以A错误；
对于中，在中，令，可得展开式中所有的的系数和为，所以B正确；
对于中，当时，展开式的通项为，
令，解得，
所以二项式的展开式中含项的系数为，所以C正确；
对于中，由选项C中二项式的展开式中含项的系数为，
再令，解得，
可得二项式的展开式中含项的系数为，
所以的展开式中含项的系数为，所以D正确．
故选：．
由，可判定A错误；令，求得所有的的系数和，可判定B正确；求得展开式的通项，令，代入求解，可判定C正确；
令，代入求得的展开式中含项的系数，进而可判定D正确．
本题考查二项分布以及二项式定理，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由线性回归方程的性质可知，点必在回归直线上，即，故A正确，
对于，相关系数，故变量，负相关，，故B错误，D正确，
对于，当时，不一定有，故C错误．
故选：．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及相关系数的定义，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，以及相关系数的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得，则有，
则，
则，
故E，．
故答案为：；．
根据题意，先利用分布列的性质求出的值，进而求出和，利用期望和方差的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设椭圆的半焦距为，
由椭圆的定义及性质可得，，
又，在中，由余弦定理得，
即，
所以，即，
故．
故答案为：．
根据焦点三角形的性质，结合余弦定理即可得，由三角形的面积公式求解即可．
本题考查了椭圆的定义及性质，考查余弦定理及三角形的面积公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由已知可得，，，
则．
故答案为：．
根据条件概率的公式求解即可．
本题考查了条件概率的公式，属基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的对称性的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
取双曲线的左焦点，连接，，，由双曲线的对称性可得四边形为矩形，则，，设，由双曲线的性质及向量的关系可得，的值，再由勾股定理可得与的关系，进而可得，的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】
解：取双曲线的左焦点，连接，，，
由双曲线的对称性可得四边形为矩形，则，，
设，则，
因为，可得，，
在中，，即，
在中，，即，
由可得，，
可得，
故答案为：．
17.【答案】解：由点斜式可得，直线方程为，即．
所以直线方程为．
由截距式可得，直线方程为，即．
所以直线方程为．
【解析】写出直线的点斜式方程，再化成一般式方程；
写出直线的截距式方程，再化成一般式方程．
本题考查直线的方程的应用，属于基础题．
18.【答案】本小题满分分
证明：不妨设正方体的棱长为，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，，．
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，分
故，．
又平面，平面E.分
解：平面的一个法向量，
平面的一个法向量分
．
二面角余弦值为分
【解析】不妨设正方体的棱长为，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，由此能证明平面E.
求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，由此求出二面角余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】证明：如图，取中点，连接，．
，分别为，的中点，
，且，
又由已知，可得，且，
四边形为平行四边形，．
底面，，，
平面，
，
．
解：连接，由有平面，得，
而，．
又，为的中点，，
，平面，
平面平面．
直线在平面内的射影为直线，
，为锐角，
为直线与平面所成的角．
依题意，有，而为中点，
，．
在直角三角形中，，
直线与平面所成角的正弦值为．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
取中点，连接，，推导出四边形为平行四边形，平面，由此能证明．
连接，推导出，，从而直线在平面内的射影为直线，为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
20.【答案】解：因为，
所以没有的把握认为性别与选修物理有关系；
由题意得该同学选修物理的概率为，
的可能取值为，，，，记被抽取女生选修物理为事件，
则，，
所以，，
，，
所以的分布为
所以．
【解析】根据已知公式即可求解；根据已知表格以及古典概型的概率计算公式即可求解；先求出的所有可能取值，求出对应的概率，且由题意分析出服从二项分布，根据二项分布的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列以及期望，考查了独立性检验以及学生的分析问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：设“从甲组内选出的个同学均为男同学；从乙组内选出的个同学中，个是男同学，
个为女同学”为事件，
“从乙组内选出的个同学均为男同学；从甲组内选出的个同学中个是男同学，
个为女同学”为事件，由于事件互斥，
且，，
选出的个同学中恰有个女生的概率为 ；
可能的取值为，，，，
，，，，
的分布列为
的数学期望．
【解析】设“从甲组内选出的个同学均为男同学；从乙组内选出的个同学中，个是男同学，个为女同学”为事件，“从乙组内选出的个同学均为男同学；从甲组内选出的个同学中个是男同学，
个为女同学”为事件，则所求概率为，根据互斥事件的概率加法公式可求；
可能的取值为，，，，利用古典概型的概率加法公式可求取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值；
本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
22.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；
显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，
则，
由，即，
所以，即，可得，符合，
即，
所以直线的方程为或，
即或．
【解析】由短轴长及的值，可得，的值，进而求出椭圆的方程；
设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得，的横纵坐标的关系，可得参数的值，即求出直线的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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