2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是( )
A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交
3.已知表示的曲线是圆，则的值为( )
A. B. C. D.
4.不论取何值，直线都过定点( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，则圆关于点对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
7.若是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是( )
A. B.
C. 为常数 D.
8.设，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点，且，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面说法中错误的是( )
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 经过定点的直线都可以用方程表示
D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
10.若双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是( )
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为 D. 两准线间的距离为
11.瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
12.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是( )
A. B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则 ______．
14.已知双曲线：的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则 ______．
15.在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为______．
16.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为数列的前项和．
已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列；
记为等差数列的前项和，若，求公差．
18.本小题分
已知：和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足．
求动点的轨迹方程；
求线段长的最小值．
19.本小题分
如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点．
证明：；
求直线与的夹角的余弦值．
20.本小题分
已知，是过抛物线焦点且互相垂直的两弦．
若直线的倾斜角为度，求弦长；
求的值．
21.本小题分
已知正方体中，为棱上的动点．
求证：；
若平面平面，试确定点的位置．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
求椭圆的方程；
若直线：交于，两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得直线：的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，解得．
故选：．
根据题意，求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系，算出直线的倾斜角．
本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，考查概念的理解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为直线和直线平行，
则，解得，，
则直线化简为，，则和直线的位置关系是平行关系，
故选：．
由已知直线平行建立方程求出，，则即可判断求解．
本题考查了直线的平行关系以及直线的方程，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由方程可得，
所以当时表示圆，解得．
故选：．
方程配方后得，根据圆的半径大于求解．
本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查知识的应用能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，整理得，
令，解得，
所以直线过定点．
故选：．
根据题意整理得，令，求解即可得定点．
本题考查了直线系的应用、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆：的圆心为，半径为，
所以圆关于点对称的圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为：．
故选：．
两圆关于点对称，两圆半径相等，圆心关于点也对称．
本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于：零向量的方向是任意的，A错误；
对于：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于、：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；符合定义，正确．
故选：．
根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定；根据相等向量的定义可以确定、．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若是等差数列，设公差为，
当时，显然不是等差数列，符合题意；
为常数列，一定为等差数列，不符合题意；
因为为常数，
所以为等差数列，不符合题意；
为常数，即一定为等差数列，不符合题意．
故选：．
举出反例检验选项A，结合等差数列的定义检验选项B，，即可判断．
本题主要考查了等差数列的判断，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
设，利用的面积，求得，即可得的是等边三角形，从而求得结论．
【解答】
解：在中，设，
由余弦定理可得，
即
，
则，
所以的面积
，
．
，，即．
又，所以的是等边三角形，即，
由椭圆的定义可得，
即有，则，
，
，则．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：当直线的斜率不存在时，经过定点的直线不能用方程表示，故A项不正确；
当直线的斜率为时，经过定点的直线不能用方程表示，故B项不正确；
经过定点的直线为轴时，不能用方程表示，故C项不正确；
对于点，，当且时，可以用方程表示，整理得，
当或时，直线与直线也包含在中，
因此，经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示，项正确．
故选：．
根据直线方程的各种形式及其适用范围，对各项逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了直线的基本量与基本形式等知识，考查概念的理解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，
可得，焦点坐标在轴上，
所以，因为，所以，，所以的方程为，A正确；
离心率为，所以不正确；，所以焦点到渐近线的距离为不正确；
两准线间的距离为：，所以D正确；
故选：．
利用双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程，然后双曲线方程以及离心率，求出，两条准线之间的距离，判断选项即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的五心，属于基础题．
利用重心与三个顶点的关系代入欧拉线方程可得的横坐标与纵坐标的关系，即可得结果．
【解答】解：设，由欧拉线的定义知重心在上，
重心可以由三角形三个顶点坐标表示，即为，
，
．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确；
因为，
由可知，当或时最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为，故D正确．
故选：．
设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到，B正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用空间向量的线性运算即可求解．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，所以，所以，．
所以，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以．
故答案为：．
利用双曲线的渐近线方程求解，结合双曲线的定义，求出结果即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：抛物线方程为，，
，又直线的倾斜角为，
，且，又，
为等边三角形，
，
．
故答案为：．
根据抛物线的几何性质，建立方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，
易知，
由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．
故答案为：．
因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：证明：根据题意，有，，
所以等差数列的公差为，
所以，
所以，
故，
两式相减得，
所以，
显然当时，满足上式，
，
，
是等差数列；
，
，
．
【解析】由题意可得等差数列的公差为，所以，即，再由求出，结合等差数列的定义证明是等差数列即可；
利用等差数列的前项和公式求解．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
18.【答案】解：连接，切点为，，由勾股定理可得，
由已知可得，即，
化简可得．
方程，可化为，
所以的轨迹是圆心为，半径为的圆，
，
，又，
线段长的最小值为．
【解析】依题意得，由勾股定理可得，代入点的坐标即可求得动点的轨迹方程；
求出线段长的最小值，即可求出线段长的最小值．
本题考查了动点的轨迹方程，考查了圆的方程和性质，考查了方程思想，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连接，
，为的中点，，
在三棱锥中，，，两两垂直，，
平面，
平面，，
，平面，
平面，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设直线与的夹角为，
则．
直线与的夹角的余弦值为．
【解析】连接，推导出，，从而平面，由此能证明．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与的夹角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题设，直线、的斜率一定存在，直线的斜率为，
直线、互相垂直，所以斜率乘积为，
因此直线的斜率为，直线的方程为，
设，，联立抛物线方程，可得，
又，，
；
由题设，直线、的斜率一定存在，
设为，，，
联立抛物线方程，可得且，
，又，，
，
由，设为，
联立直线与抛物线的方程，消去可得：，
同理有，
，
．
故答案为：．
【解析】由题可得直线的方程为，联立抛物线方程，可得，再由弦长公式即可求解；
由设而不求发结合已知条件即可求解．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21.【答案】证明：正方体中，为棱上的动点．
，，
，平面，
平面，．
解：设的中点为，正方体的棱长为，设，，
连结，，
以为原点，、、为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
≌，，，
，，
，
是二面角的平面角，
平面平面，，
，
解得，
当为的中点时，能使平面平面．
【解析】推导出，，从而平面，由此能证明．
设的中点为，正方体的棱长为，设，，连结，，以为原点，、、为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当为的中点时，能使平面平面．
本题考查线线垂直的证明，考查满足面面垂直的点的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
22.【答案】解：易知抛物线的焦点为，
由题意可得，
又因为离心率，所以，
又因为，
所以椭圆的方程为；
证明：设，则由题意可得，，
联立，整理可得：，
，即，
，，
直线与关于轴对称，则，
即，即，
整理可得，
所以直线的方程为：，可得直线恒过定点，
可证得：直线恒过一定点．
【解析】由题意根据抛物线的方程可求，由离心率可求，再由，，之间的关系求出的值，进而求出椭圆方程；
设，的坐标，联立直线与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，由直线与关于轴对称，可得直线与的斜率之和为，求出两条直线的斜率之和，将两根之和及两根之积代入整理可证得直线恒过定点．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
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