2023-2024学年新疆乌鲁木齐重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的前项和为，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.直线：与圆：的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 不确定
4.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长度为的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点第一段圆弧，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为，的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于，则截面所表示的椭圆的离心率为( )
注：在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，，由相切的几何性质可知，，，于是，为椭圆的几何意义
A.
B.
C.
D.
6.数列的通项公式，若该数列的第项满足，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线将圆平分，若不经过轴的负半轴，则其斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B.
C. 四面体的外接球体积为
D. 平面截正方体所得的截面是四边形
10.已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点点在点和点之间，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 若为的中点，则 D. 若为的中点，则
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是( )
A. 曲线围成的图形的周长是
B. 曲线围成的图形的面积是
C. 曲线上的任意两点间的距离不超过
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.已知抛物线的交点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则双曲线的离心率为______．
13.已知圆：和圆：，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则的取值范围是______．
14.三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是等差数列，若，．
求的通项公式；
求数列的前项和及其最值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，、分别为、的中点，点在线段上．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
总书记说：“绿水青山就是金山银山”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，年投入万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
设年内年为第一年总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；
至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
参考数据：，，．
18.本小题分
如果直线与椭圆：总有公共点，求实数的取值范围．
19.本小题分
若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差．设数列为“段比差数列”．
若的首项、段长、段比、段差分别为、、、．
当时，求；
当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，双曲线的焦点坐标为，即，
则有，
解可得，
即双曲线的方程为，其焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为，即；
故选：．
根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，由双曲线的几何性质可得的值，结合双曲线焦点的位置，分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，注意先分析双曲线焦点的位置．
2.【答案】
【解析】解：等比数列中，，，
，解得，，
则．
故选：．
由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由直线：，得，
令，则，所以直线过定点，
因为，
所以点在圆：内，
所以直线：与圆：相交．
故选：．
易得直线过定点，判断出点与圆的位置关系即可得出结论．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，每段圆弧的圆心角为，
第一段圆弧到第段圆弧的半径构成等差数列：，，，，，
故当得到的“蚊香”恰有段圆弧时，
“蚊香”的长度为．
故选：．
每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查弧长的求解，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，设两球的球心分别为，，
设圆锥的顶点为，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为，，
连接，，，，连接交于点，
顶角为，，又两球的半径分别为，，
，，，，
，，
，
又∽，
，又，
，，
，
，
该椭圆的离心率为．
故选：．
设两球的球心分别为，，设圆锥的顶点为，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为，，连接，，，，连接交于点，则根据题意易得，，再由∽，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆的定义，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，的通项公式，
若该数列的第项满足，则有，
又由且，则，
故选：．
根据题意，由数列的通项公式可得，结合的范围分析可得的值，即可得答案．
本题考查数列的通项公式的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的方程为，圆心坐标为，
直线将圆平分，直线过圆心，
当，直线均不经过轴的负半轴，符合题意，
当时，由直线不经过轴的负半轴，可得斜率，
综上所述，的取值范围为．
故选：．
由直线将圆平分，可得直线过圆心，再根据直线不经过的负半轴，求出斜率的取值范围．
本题主要考查直线与圆的位置关系，以及分类讨论的思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，
直线，
，
，．
故选：．
根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，A错误；
，，，，B正确；
由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，，C正确；
延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，
则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误．
故选：．
利用坐标法可判断，利用正方体的性质可判断．
本题主要考查空间向量及其应用，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，
设直线的方程为，，设，，
联立，整理可得：，
，可得，且，可得且，即，所以不正确；
且，，
，所以B正确；
中，若是的中点，则，可得，即，，解得，，
所以，，所以，所以C正确；
中，由知，即，所以，所以D正确．
故选：．
由题意设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用根的判别式，得到，且，设，的坐标，根据韦达定理得到，的表达式，结合抛物线的焦半径对选项进行迹一分析，进而判断所给命题的真假．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知曲线：，
当，时，曲线的方程为；
当，时，曲线的方程为；
当，时，曲线的方程为；
当，时，曲线的方程为，
曲线的图象如图如下所示：
易知曲线所围成的图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，
则曲线所围成的图形的周长，故选项A正确；
因为曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
所以曲线所围成的面积，故选项B错误；
易知曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，
此时，故选项C错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，
易知点在曲线的第一象限内的图象上，
因为曲线的第一象限内的图像是圆心为半径为的半圆，
所以圆到的距离，
则，
所以，故选项D正确．
故选：．
由题意，得到曲线的方程，作出函数图象，将曲线围成的图形的周长转化成四个半径相同的半圆的周长之和，进而可判断选项A；将曲线围成的图形的面积转化成四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，进而可判断选项B；易知任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入公式即可判断选项C；结合点到直线的距离公式即可判断选项D．
本题考查曲线与方程以及直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：由题意，两条曲线交点的连线过点
两条曲线交点为，
代入双曲线方程得，
又
，化简得
故答案为：．
先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点得到交点坐标，代入双曲线，把代入整理得等式两边同除以，得到关于离心率的方程，进而可求得．
本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的应用，考查双曲线的离心率，解题的关键是得出，的方程．
13.【答案】
【解析】解：因为上任意一点，都可以作射线与圆依次交于，两点，
所以，即，
又因为上任意一点，都可以作射线与圆依次交于，两点，满足，
而，所以上任意一点，都有，即，解得，
综上，的取值范围是．
故答案为：．
由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将上任意一点，都可以作射线与圆依次交于，两点，满足，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，解出的范围．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设，
则，
又，
，
，
，
故答案为：．
由题意建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出，再求向量的模即可．
本题考查空间向量的应用，属于容易题．
15.【答案】解：是等差数列，，，
，
解得，
的通项公式为．
数列的前项和为：
，
当或时，数列的前项和取最大值．
【解析】利用等差数列列方程，求出，由此能求出的通项公式．
利用等差数列前项和公式能求出数列的前项和，利用配方法能求出数列的前项和的最大值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】Ⅰ证明：在平行四边形中，因为，，
所以，故AB；
由、分别为、的中点，得，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面
Ⅱ解：因为底面，，所以，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
所以，，
由已知，，故，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，
所以
，
化简得，
故或舍．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
Ⅰ证明， ，推出，然后证明平面
Ⅱ以，，所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出，平面的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．
17.【答案】解：年投入为万元，第年投入为万元，
年内的总投入为
，
年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元，
年内的旅游业总收入为
；
设至少经过年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，
即，
令，代入上式得，
即，
解得或舍去，，
不等式两边取常用对数得，
．
，故至少到年，旅游业的总收入才能超过总投入．
【解析】根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可求解；
根据中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解．
本题考查数列的实际应用，不等式思想，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆总有公共点，
所以，
整理得，
当时，成立，
此时，
若，即时，
可得，
所以，
综上，满足条件的实数的取值范围为．
【解析】由题意，将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式再进行求解即可．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，
所以，
故，从而．
因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，
所以
，
故是以为首项、为公差的等差数列，
又因为
，
所以．
因为，所以，
设，则，
又，
当时，，；
当时，，，所以，
所以，
故，得．
设的段长、段比、段差分别为，，，
则等比数列的公比为，
由等比数列的通项公式有，
当时，，
即恒成立，
若，则，；
若，则，则为常数，则，为偶数，
，
经检验，满足条件的的通项公式为或
若，则，，，
由，得，得，则，
经检验符合题意．
综合，满足条件的的通项公式为或
【解析】本题属于新情境、新定义问题，处理此类问题，首先得正确理解题意，其次，利用所给的定义进行正确地解题．为了更好地处理新情境、新定义问题，我们在求解的过程中，经常可以采用从特殊到一般的思维方式来帮助我们进行思考，这样，可以将抽象的问题直观地展示在我们的面前，从而有利于我们来进行求解．
因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，代入即可得出结果；
的首项、段长、段比、段差分别为，，，，代入判断出是以为首项、为公差的等差数列，求出，，所以，设，则，判断的单调性，得出最大值，得出结果；
设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，讨论的值，求出结果．
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