2023-2024学年云南省保山市文山州高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省保山市文山州高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量如果前个小时消除了的污染物，那么前个小时消除了污染物的( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列满足：首项，公比为，前项和为，则“对任意的恒成立”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
8.已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若等比数列的公比为，则其前项和为
B. 已知数列为等差数列，若其中，，，，则
C. 若数列的通项公式为，其前项和为，则
D. 若数列的首项为，其前项和为，且，则
10.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 在区间单调递增
C. 在有个零点 D. 的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与下底面所成角的正弦值为
C. 为线段的中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为
D. 三棱锥的外接球体积的最大值为
12.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线：说法中正确的有( )
A. 椭圆的“伴随圆”的面积为
B. 对直线上任意点，都有
C. 椭圆的标准方程为
D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦、都与椭圆相切，则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列的前项和为，且满足，，则 ______．
14.一组数据按从小到大排列为，，，，，，，若该组数据的第百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是______．
15.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与垂直的直线方程______．
16.已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为______；当最大时， ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，求面积的最大值．
18.本小题分
现有形状、大小完全相同的个标记了数字的红球、个标记了数字的红球、个标记了数字的白球、个标记了数字的白球，运用分层抽样方法从中抽取个球后，放入一个不透明的布袋中．
求不透明的布袋中种球的个数；
从布袋中不放回地随机取个小球，每次取个，
记事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字的球，
事件第一次取到了标记数字的球，事件第二次取到了标记数字的球，
求证：；
判断：与是否相互独立？请说明理由．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，、、分别是、、的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ设为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．
20.本小题分
我国南宋时期的数学家杨辉，在他年所著的详解九章算法一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”，在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．
把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
设，，证明：．
21.本小题分
已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为，过点且斜率的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
求双曲线的方程；
若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
22.本小题分
函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
判断下列函数是否具有性质，并说明理由；
；；
已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质，求证：是偶函数；
已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故选：．
进行交集、补集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故．
故选：．
结合复数模公式，先对化简，再结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，且，
，
，且，
与的夹角为．
故选：．
根据条件得出，，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，从而可得出答案．
本题考查了向量长度的求法，向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，，解得，
当时，，
，
即前个小时消除了污染物的．
故选：．
由题意可知，，求出，代入可求出经过个小时后污染物数量，进而求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：若，且公比，则，所以对于任意，成立，故必要性成立；
若，且，
则，
所以由对于任意的，，推不出，故充分性不成立；
则“对任意的恒成立”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据等比数列的通项特征可判断必要性，举反例即可说明不充分性．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了充分及必要性的判断，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，准线为：，
设直线交轴于，可得，
过作准线的垂线，交于，可得，
若，设，可得，，
由，即，可得，即．
故选：．
求得抛物线的焦点和准线方程，设直线交轴于，过作准线的垂线，交于，可得，由向量共线性质，设，可得，，再由三角形的相似性质可得所求值．
本题主要考查抛物线的定义、方程和简单性质，同时考查直线与抛物线的位置关系和向量共线的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：依题意知，圆锥的轴截面是正，内切圆即为圆锥内最大的球的截面，
则球心在线段上，，
所以球的半径为，球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，即为：．
故选：．
根据题意知，圆锥的轴截面是正，内切圆即为圆锥内最大的球的截面，由此求出球的半径和表面积，再计算圆锥的侧面积，求出球的表面积与圆锥的侧面积之比即可．
本题考查了空间几何体的表面积计算问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，所以，
所以，
所以函数关于直线对称，
又因为，所以，
所以，所以关于点中心对称，
所以函数的周期为，
当时，，
又，，
所以由，得，
因为是偶函数，所以，
所以，由周期性可得，
又，故，
又，
所以，
．
故选：．
利用函数的奇偶性和周期性进行求解．
本题考查了抽象函数的奇偶性和周期性，求出函数的周期为是难点，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：当公比时，
等比数列的前项和不满足，故选项A错误；
对于选项B：设等差数列的公差为，
则
，
，
，
，故选项B正确；
对于选项C：，
则
，故选项C错误；
对于选项D：依题意，当时，由，
可得，
两式相减，
可得，
即，
当时，也满足上式，
，，故选项D正确．
故选：．
对于选项A：将公比代入进行判断即可推导出选项A是否正确；对于选项B：先设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算出与的表达式，再根据已知条件进一步判断即可得到选项B的正确性；对于选项C：先将数列的通项公式的通项公式进行转化，再运用裂项相消法即可推导出前项和为的值，判断出选项C的正确性；对于选项D：当时，由，可得，两式相减进一步推导可得的表达式，再验证时是否满足，即可判断出选项D的正确性．
本题主要考查等差数列与等比数列的基本概念，数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的性质，等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，依次分析选项：
对于：，故函数为偶函数，故A正确；
对于，在区间上，，易得在区间单调递减，B错误；
对于，在区间上，，若，则有，
由于为偶函数，则，
又由，
故函数在内有个零点，故C正确；
对于：函数，有，，
必有，且当时，，
故函数的最大值为，故D正确．
故选：．
根据题意，由偶函数的定义分析，将函数的解析式变形化简，结合正弦函数的性质分析，结合函数零点的定义分析，结合三角函数的最值分析，综合可得答案．
本题考查三角函数的图象，涉及函数的单调性、最值，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：三棱锥的体积为，选项正确；
易知直线与下底面所成角为，
又，，，，选项正确；
如图，
当为线段的中点时，易证，且，
过，，三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
易知等腰梯形的周长为，选项错误；
当与重合时，三棱锥的外接球体积最大，
此时三棱锥的外接球的直径为长，宽，高分别为，，的长方体的体对角线，
设此时三棱锥的外接球的直径为，则，解得，
三棱锥的外接球体积的最大值为，选项正确．
故选：．
根据三棱锥的体积公式，线面角的定义，平行线的传递性，分割补形法，即可分别求解．
本题考查立体几何的综合应用，三棱锥的体积的求解，线面角的求解，正方体的截面问题，三棱锥的外接球问题，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线：．
对于，因为点在伴随圆上，所以方程为，
因为，又 ，所以，，故C正确；
伴随圆程为，面积为，故A正确；
对于：直线的方程为，椭圆方程，组成方程组去得，
，所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，
故B错误；
由伴随圆的定义可知，，则为伴随圆的直径，
连接，
，
，
设，，
，
又 当且仅当时取等号 ，
，即
，故D错误．
故选：．
根据新定义和圆锥曲线的相关知识对选项逐一分析即可．
本题主要考查椭圆的性质以及逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且满足，，
，解得，
则．
故答案为：．
利用等差数列前项和公式直接求解．
本题考查等差数列前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，众数为，
所以第百分位数是，
因为，
所以第百分位数是，即，
所以这组数据的平均数是．
故答案为：．
先求出众数，进而求出百分位数，结合百分位数的定义求出的值，再利用平均数公式求解即可．
本题主要考查了众数、百分位数和平均数的计算，属于基础题．
15.【答案】直线方程的斜率为即可
【解析】解：由题意，可设，直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，
可得，则，
所以由，即，解得，
故写出一条与垂直的直线方程为直线方程的斜率为即可．
故答案为：直线方程的斜率为即可．
根据函数图象变换表示出前后解析式，由题意，列方程求解，再根据两直线垂直斜率之间的关系即可得到答案．
本题考查了直线的方程，两直线垂直斜率之间的关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为 ，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
如图：
当最大或最小时，直线与圆相切，上图的点位置满足最大的情况，
，，所以，
故答案为：；．
先求出直线的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当最大时点所在的位置，再结合勾股定理可得的值．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为，
由正弦定理得
，
因为、，则，可得，
所以，故；
Ⅱ由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故，
因此，面积的最大值为．
【解析】Ⅰ利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
Ⅱ利用余弦定理结合基本不等式可求最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
18.【答案】解：由题意得，共有个球，
因为分层抽样方法从中抽取个球后，放入一个不透明的布袋中，
其中标记数字的红球有个，标记数字的红球有个，
标记数字的白球有个，标记数字的白球有个，
所以标记数字的红球有个，标记数字的红球有个，
标记数字的白球有个，标记数字的白球有个．
从布袋中不放回地随机取个小球，每次取个，
事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字的球，
事件第一次取到了标记数字的球，事件第二次取到了标记数字的球，
证明：由相互独立事件的概率乘法公式，
可得，，
所以；
由相互独立事件的概率乘法公式，可得，
事件可分为两种情况：第一次取到标记数字的球，
第二取到了标记数字的球和第一次取到标记数字的球，
第二取到了标记数字的球，且两种取法为互斥事件，
所以，
事件可分为：第一次取到了标记数字的红球，
第二次取到了标记数字的球和第一次取到了标记数字的红球，
第二次取到标记数字的球，且两种取法为互斥事件，
所以，
因为，事件与事件相互独立．
【解析】根据题意，结合分层抽样的方法，准确计算，即可求解；
根据相互独立事件的概率乘法公式，分别求得和，即可得证；
根据题意，事件可分为两种情况，结合互斥事件和独立事件的概率公式，求得，再利用互斥事件和独立事件的概率公式，求得，得到，即可得到结论．
本题考查分层抽样、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：连结，
，分别为，的中点，
，且，
为的中点，，
由题设知，且，可得，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，面，
平面．
Ⅱ平面，
为直线与平面所成角，
，解得，
取中点，连结，过点作，交于点，连结，
由题意得平面，
是二面角的平面角，
由题意得∽，
，
，
在中，，解得，
二面角与二面角互补，
二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ连结，推导出，且，，，且，得到，且，进而得到，且，由此能证明平面．
Ⅱ由线面所成角的定义可得为直线与平面所成角，则，解得，取中点，连结，过点作，交于点，连结，则是二面角的平面角，再计算大小，即可得出答案．
本题考查线面平行的证明，点到平面的距离、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由“杨辉三角”的定义可知：，时，，
所以有，
故．
证明：，
设，
所以，
所以，
得，，
所以，
即．
【解析】首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式．
本题考查了数列的递推式以及错位相减法求和的问题，属于中档题．
21.【答案】解：设直线的方程为，
联立，得，
又，，代入上式得
所以，即，
所以，解得，
所以，，
所以双曲线的方程为．
当直线的斜率不存在时，，，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，
所以，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以，
两边平方得，
又因为，
所以，
所以，
所以，或舍去，
所以定直线方程为．
【解析】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．
设直线的方程为，联立双曲线的方程，解得点的坐标，再由三角形的面积解得，，，进而可得答案．
当直线的斜率不存在时，得，，写出直线，的方程，联立解得点坐标，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线的方程，结合根于系数关系可得，，写出直线，的方程，进而可得，两边平方，化简即可得出答案．
22.【答案】解：，定义域为，
则有，
显然存在正实数，对任意的，总有，
故具有性质；
，定义域为，
则，
当时，，
故不具有性质．
证明：假设二次函数不是偶函数，
设，其定义域为，即，
则，
易知，是无界函数，
故不存在正实数，使得函数具有性质，与题设矛盾，
故是偶函数．
的定义域为，
，
具有性质，
即存在正实数，对任意的，总有，
即，即，
即，即，即，
即，
解得，即
【解析】根据定义即可求得具有性质，根据特殊值即可判断不具有性质；
利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；
根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质和函数不等式恒成立问题，考查了转化思想，属难题．
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