第八章 §8.6 习题课 二面角的平面角的常见解法 课时练（含答案）

习题课　二面角的平面角的常见解法
1. 如图，三棱台ABC－A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A－BB1－C的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．如图所示，将等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°.则这个二面角的大小是(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
3．已知二面角α－l－β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a α，b β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为(　　)
A．40° B．50° C．130° D．140°
4. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是(　　)
A．异面直线AC与BC1所成的角为60°
B．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45°
C．二面角A－B1C－B的正切值为
D．四面体D1－AB1C的外接球的体积为
6. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1－BC－A的平面角的正切值为(　　)
A. B.
C．1 D.
7. 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)二面角D′－AB－D的大小为________．
(2)二面角A′－AB－D的大小为________．
8. 如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则二面角α－CD－β的大小为________．
9．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值．
10．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P－BC－A的余弦值．
11. 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
12．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．二面角α－MN－β的平面角为θ1，AB α，B∈MN，∠ABM＝θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是(　　)
A．cos θ3＝cos θ1·cos θ2
B．cos θ3＝sin θ1·cos θ2
C．sin θ3＝sin θ1·sin θ2
D．sin θ3＝cos θ1·sin θ2
14．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和点D的距离为1，则二面角B－AC－D的大小为________．
15. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为2∶1，则正脊与斜脊长度的比值为(　　)
A. B．2 C. D.
16. 如图，在水平放置的直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝AB＝1，以AB所在直线为轴，将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF，其中θ∈.
(1)证明：平面ADF⊥平面CDFE；
(2)若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于，求θ的值．
习题课　二面角的平面角的常见解法
1．C　2.C　3.B　4.B
5．ACD　[如图所示，连接AD1，AO，CD1，
对于A，易知BC1∥AD1，则∠D1AC为异面直线AC与BC1所成的角，显然△AD1C为正三角形，
∴∠D1AC＝60°，故A正确；
对于B，∵B1O⊥BC1，B1O⊥AB，AB∩BC1＝B，∴B1O⊥平面ABC1D1，∴∠B1AO为直线AB1与平面ABC1D1所成的角，
∵AO＝，B1O＝，
∴tan∠B1AO＝＝，
∴∠B1AO＝30°，故B错误；
对于C，在△AB1C中，AO⊥B1C，
∴∠AOB为二面角A－B1C－B的平面角，tan∠AOB＝＝＝，故C正确；
对于D，利用补形法可知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，∴R＝，∴V＝R3＝，故D正确．]
6．D　[设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角为∠A1EA，在等边△ABC中，AE＝a，
所以tan∠A1EA＝
＝＝，
即二面角A1－BC－A的平面角的正切值为.]
7．(1)45°　(2)90°
8．120°
解析　设平面PAB与棱CD交于点E，
如图，连接BE，AE，易得CD⊥BE，CD⊥AE，
则∠BEA即为所求二面角的平面角．
∵△PAB为等边三角形，
∴∠APB＝60°，∴∠BEA＝120°.
故二面角α－CD－β的大小为120°.
9．解　如图，由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1，得△BCD为等边三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，连接BF，则EF⊥CD，则∠BEF为二面角A－CD－B的平面角．
∵EF＝，BE＝，BF＝，
∴cos∠BEF＝
＝＝.
10．解　设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC交BC于点E，连接PE，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P－BC－A的平面角为∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，
AB＝2，
则AE＝AB＝1，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∴PE＝＝，
∴cos∠PEA＝＝＝.
∴二面角P－BC－A的余弦值为.
11．B　[∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示，
则AO⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
∴AO⊥平面BCD，
∴AO⊥CD，
取CD的中点M，连接OM，AM，
则OM∥BC，
∴OM⊥CD，
又AO∩OM＝O，
∴CD⊥平面AOM，
∴AM⊥CD，
∴∠AMO即为二面角A－CD－B的平面角．
设正方形A1BCD的边长为2，
则AO＝，OM＝1，
∴AM＝＝.
∴cos∠AMO＝＝＝.]
12．C　[由已知得BD＝2CD.翻折后，易知BC⊥CD.在Rt△BCD中，∠BDC＝60°.而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.]
13．C　[如图，过点A作AH⊥β于点H，作HO⊥MN于点O，连接AO，则AO⊥MN，所以∠AOH为α－MN－β的平面角，∠ABH为AB与β所成的角，因为sin θ1＝，sin θ2＝，
所以sin θ1·sin θ2＝·＝＝sin θ3.]
14.
解析　设翻折前AC与BD相交于点O，
则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，
∴∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，
∵OB＝OD＝，BD＝1，
∴△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，
∴二面角B－AC－D的大小为.
15．A　[设正脊长为a，斜脊长为b，底面矩形的长与宽分别为2t和t，
如图，过S作SO⊥上底平面于O，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥AB于F，
连接SE，SF，OA，
由题意知
tan∠SEO＝tan∠SFO＝，
SE2＝SA2－AE2＝b2－2，
SF2＝SB2－BF2＝b2－2，
所以＝，于是a＝t，
SA＝b＝
＝＝，
所以＝＝.]
16．(1)证明　由题意，知AB⊥AD，AB⊥AF，AD∩AF＝A，且AD，AF 平面ADF，
所以AB⊥平面ADF，
又AB∥CD，
所以CD⊥平面ADF，
因为CD 平面CDFE，
所以平面ADF⊥平面CDFE.
(2)解　因为EF∥AB∥CD，
所以EF⊥平面ADF，
从而△BCE在平面ADF内的投影为△ADF，
所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为，
由已知得∠FAD＝θ，AF＝AD＝1，BE＝BC＝，FD＝EC＝2sin ，
所以S△ADF＝sin θ＝sin cos ，
S△BCE＝·2sin ·＝sin ·，
从而＝
＝＝，
即cos2＝，
因为θ∈，
所以cos >0，所以cos ＝，
所以＝，
故θ＝.