第八章 §8.6 习题课 空间中距离问题的解法 课时练（含答案）

习题课　空间中距离问题的解法
1．两条异面直线的距离是(　　)
A．和两条异面直线都垂直相交的直线
B．和两条异面直线都垂直的线段
C．它们的公垂线夹在垂足间的线段长
D．两条直线上任意两点间的距离
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　)
A. B. C. D.
3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为(　　)
A. B. C. D.
4．已知平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行．记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则(　　)
A．d1C．d1>d2 D．d1与d2大小不确定
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为(　　)
A. B. C. D.
6. 如图，底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M，N分别为CC1，BB1的中点，则点N到平面A1BM的距离为(　　)
A. B. C. D.
7．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
8．如图，正方体的棱长为1，C，D分别是所在棱的中点，A，B，M是顶点，那么点M到平面ABCD的距离是________．
9. 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB间的距离．
10．如图，在几何体A－BCDE中，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5.
(1)求证：DC∥平面ABE；
(2)求直线DC到平面ABE的距离．
11. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
12．在正四棱锥S－ABCD中，SO⊥平面ABCD于点O，SO＝2，底面的边长为，点P，Q分别在线段BD，SC上移动，则P，Q两点的最短距离为(　　)
A. B. C．2 D．1
13．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，且PA＝PB＝PC＝1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为(　　)
A. B. C. D.
14．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm,2 cm，则线段AB与平面α所成的角的大小是________．
15．已知正三棱锥A－BCD的四个顶点在同一个球面上，AB＝AC＝AD＝4，CD＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为________，该三棱锥的顶点B到平面ACD的距离为________．
16．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EFG∥平面ABD；
(3)求平面EFG与平面ABD的距离．
习题课　空间中距离问题的解法
1．C　2.A　3.B
4．B　[因为平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行，
所以平面α，β的距离等于直线m，n的距离，所以d1＝d2.]
5．C　[由题意可得，原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得，，
即h·××22×sin 60°＝××××，
解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.]
6．B　[如图，连接B1M.因为N为BB1的中点，
所以点N到平面A1BM的距离为点B1到平面A1BM的距离的.设点B1到平面A1BM的距离为h，因为，所以h＝.因为直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M为CC1的中点，所以A1B＝，BM＝A1M＝，点M到平面A1B1B的距离为，等腰三角形A1BM中底边A1B上的高为，所以h＝＝＝，所以点N到平面A1BM的距离为.]
7．1
8.
解析　如图，延长BC，AD，与过点M的正方体的竖直的棱的延长线交于点F.取AB的中点E，连接ME，EF.
过点M作MO⊥EF，垂足为O.
由题意知，ME⊥AB.又因为AF＝BF，AE＝BE，所以AB⊥EF.又ME∩EF＝E，
所以AB⊥平面EMF，
所以AB⊥MO.
因为MO⊥EF，AB∩EF＝E，
所以MO⊥平面ABCD，所以MO是点M到平面ABCD的距离．
由AM＝1，得ME＝，
又FM＝2，所以EF＝，
所以MO＝＝＝.
9．(1)证明　连接B1D1(图略)．
∵M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，
∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF，
∵EF 平面EFDB，MN 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF(图略)，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
则MF∥A1D1且MF＝A1D1，
又A1D1＝AD且A1D1∥AD，
∴MF∥AD且MF＝AD，
∴四边形MFDA是平行四边形，
∴AM∥DF，∵DF 平面EFDB，
AM 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
MN∩AM＝M，MN，AM 平面AMN，
∴平面AMN∥平面EFDB.
(2)解　平面AMN与平面EFDB之间的距离即为点D到平面AMN的距离h，
由V三棱锥M－ADN＝S△ADN·＝，
S△AMN＝×a×a＝a2，
V三棱锥D－AMN＝S△AMN·h＝，
解得h＝a，
即平面AMN与平面EFDB之间的距离为a.
10．(1)证明　由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
可得DC⊥BC，EB⊥BC，
则在平面BCDE中，DC∥BE，
又DC 平面ABE，BE 平面ABE，
则DC∥平面ABE.
(2)解　由DC∥平面ABE，
可知直线DC到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5，则BC＝＝，
由EB⊥平面ABC，可得EB⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩EB＝B，则BC⊥平面ABE，
即线段BC为点C到平面ABE的距离，
又BC＝，
故直线DC到平面ABE的距离为.
11．D　[
＝××1×2×2＝，
在△BED中，由题意及图形结合勾股定理可得
BE＝DE＝，BD＝2，
则由余弦定理可得cos∠BED＝＝＝，
则sin∠BED＝＝.
则S△BDE＝BE·DE·sin∠BED
＝×××＝.
设点C1到平面EBD的距离为d，
由，
得＝×d，解得d＝.]
12．B　[∵P，Q在BD，SC上移动，则当PQ为BD，SC的公垂线段时，P，Q两点的距离最小．
∵四棱锥S－ABCD为正四棱锥，SO⊥平面ABCD，∴O为正方形ABCD的中心，
∴BD⊥AC，
又SO⊥BD，SO∩AC＝O，
∴BD⊥平面SOC，
过O作OM⊥SC，垂足为M，如图所示，
∵OM 平面SOC，
∴OM⊥BD，
∴OM为BD，SC的公垂线，
又OM＝＝＝，
∴P，Q两点的最短距离为.]
13．B　[空间四个点P，A，B，C在同一球面上，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，
则PA，PB，PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P，A，B，C的球面即为正方体的外接球，球的直径即是正方体的体对角线，长为，
球心O到平面ABC的距离为体对角线的，即球心O到平面ABC的距离为.
则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为＋＝.]
14．30°
解析　如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，又△AOC∽△BOD，即＝，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
15．64π　
解析　如图，设底面△BCD的外心为G，连接AG，
则该三棱锥的外接球的球心O在AG(或其延长线)上，
连接OB，连接BG并延长，交CD于点E，连接AE，
由等边三角形BCD的边长CD＝6，
得BE＝＝3，
则BG＝BE＝2，
所以AG＝＝2.
设三棱锥的外接球的半径为R，
则(2－R)2＋(2)2＝R2，
解得R＝4.
所以三棱锥的外接球的表面积
S＝4π×42＝64π.
又VA－BCD＝S△BCD·AG
＝××62×sin 60°×2＝6，
S△ACD＝×6×＝3.
设点B到平面ACD的距离为h，
则VA－BCD＝VB－ACD＝S△ACD·h
＝×3·h＝6，
则h＝.
16．(1)证明　∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝CB，而∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵B1D 平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，
根据已知条件可得，D为CC1的中点，B1D＝DB＝2，B1B＝4，
即BB＝B1D2＋BD2，
∴BD⊥B1D，
又BD∩AB＝B，
∴B1D⊥平面ABD.
(2)证明　如图所示，取BB1的中点T，连接TC1，
∵B1B＝4，EB1＝1，
∴E为TB1的中点，而F为B1C1的中点，
∴EF为△B1TC1的中位线，
∴EF∥TC1，
又∵C1D∥TB，且C1D＝TB，
∴四边形TBDC1为平行四边形，
∴BD∥TC1，∴EF∥BD，
∵EF 平面ABD，BD 平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∵F，G分别是B1C1，A1C1的中点，
∴GF是△C1A1B1的中位线，
∴GF∥A1B1，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∴GF∥AB，
∵GF 平面ABD，AB 平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，
∴平面EFG∥平面ABD.
(3)解　由平面EFG∥平面ABD，EF与B1D相交于H，
又∵B1D⊥平面ABD，
∴HD⊥平面ABD，
∴两平面之间的距离即为H到平面ABD的距离，即HD，
∵EF∥BD,
∴△B1EH∽△B1BD，
∴＝，∴B1H＝，
∴HD＝，
故平面EFG与平面ABD的距离为.