第八章 §8.6 习题课 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法 课时练（含答案）

习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与CD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF与C1D所成角的大小是(　　)
A. B. C. D.
3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
4．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45° C．30° D．120°
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D．2
7. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为________．
8. 如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的大小为________．
9. 如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值．
11．(多选)如图，在四面体A－BCD中，AC＝BD＝a，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为(　　)
A. B.
C. D.
12.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于(　　)
A. B. C. D.
14. 如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE和平面PAC所成的角为________．
15.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成角的大小等于45°
D．AB与SC所成角的大小等于30°
16. 如图，点P为平面ABC外一点，AP，AB，AC两两互相垂直，过AC的中点D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，连接BP，BE，BD，多面体B－PADE的体积是.
(1)画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明理由；
(2)求BE和平面PADE所成角的正切值．
习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
1．B　2.D　3.A　4.A
5．D　[如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，
则cos∠O1OD1＝＝＝.]
6．A　[如图，延长D1E与直线DC的延长线相交于F，连接AF，
则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，
∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，
∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，
∴tan∠AFD＝＝.]
7．60°　8.45°　45°
9．解　如图所示，连接CM，
设Q为CM的中点，连接QN，
则QN∥SM.
∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角．
连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，
BN＝a，NQ＝SM＝a，BQ＝a，
∴cos∠QNB＝
＝＝.
即异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
10．解　如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2a，
则EM＝AD＝2a，
BE＝＝3a.
于是在Rt△BEM中，
sin∠EBM＝＝，
即直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为.
11．BC　[取BC的中点E，连接EN，EM，如图所示．
因为M为AB的中点，
所以ME∥AC，且ME＝AC＝，
同理得EN∥BD，且EN＝，
所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，
在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，
则△MEN为等边三角形，
所以MN＝.
若∠MEN＝120°，可得MN＝.]
12．D　[如图，取BC的中点H，连接EH，AH，则∠EHA＝90°.设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝
＝＝.]
13．D　[如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1.
因为E为CC1的中点，
所以EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF或其补角即为异面直线OE与AD1所成的角，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF＝，OE＝，OF＝1，
故∠OFE＝90°，故cos∠OEF＝＝＝.]
14．60°
解析　如图，在正四棱锥P－ABCD中，连接BD，交AC于点O，连接PO，
则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平面PAC.
连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成的角．
∵正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，
∴V＝×6×PO＝2，则PO＝1，
BC＝，则OC＝OB＝，
∵E为侧棱PC的中点，
∴取OC的中点H，连接EH，
则EH⊥OC，
EH＝PO＝，OH＝OC＝，
则OE＝
＝＝1.
在Rt△BOE中，
tan∠BEO＝＝＝，
则∠BEO＝60°.
15．AB　[如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，
对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，
故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；
对于B，因为AB∥CD，且AB 平面SCD，CD 平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；
对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，
因为SA＝，OA＝，
所以∠ASO＝30°，故C不正确；
对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确．]
16．解　(1)如图，延长PE交AC于点F，连接BF，
∵AP，AB，AC两两互相垂直，
∴PA⊥平面ABC.
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴＝＝，
∴F与C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE 平面PBE，AC 平面ABC，
∴C是平面PBE与平面ABC的公共点．
又B是平面PBE与平面ABC的公共点，
∴BC是平面PBE与平面ABC的交线．
(2)如图，连接AE.
∵AP，AB，AC两两互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，
∴∠BEA为BE和平面PADE所成的角．
∵VB－PADE＝S梯形ADEP·AB
＝××(1＋2)×1×AB＝，
∴AB＝.
又∵AE＝＝，
∴tan∠BEA＝＝＝，
所以BE和平面PADE所成角的正切值为.