第八章 8.6.3 平面与平面垂直 课时练（含答案）

8.6.3　平面与平面垂直
1．下列命题正确的是(　　)
A．若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
3．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
5．在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
6. (多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法正确的有(　　)
A．平面PAD⊥平面PAB
B．平面PAD⊥平面PCD
C．平面PBC⊥平面PAB
D．平面PBC⊥平面PCD
7. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
8. 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
9. 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
10. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　　)
A. B. C. D.
12. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　)
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
13. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
14．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
15. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是(　　)
16．如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3.
(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
(2)求六面体ABCDEF的体积．
8．6.3　平面与平面垂直
1．D　2.C
3．B　[如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，PO，
因为PH⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO为侧面与底面所成的角，
因为PO为高，所以PO⊥平面ABCD，
所以PO⊥OH，
又OH＝，PO＝a，
PH＝＝a，
所以在Rt△POH中，
cos∠PHO＝＝，
所以侧面与底面所成角的余弦值为.]
4．D　[如图所示，设平面ABC⊥平面BCD，平面EFDG⊥平面ABC，
当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCD垂直，
因为二面角H－DG－F的大小不确定，
所以两个二面角的大小关系不确定．]
5．B　[如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，
又AD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面BCD.]
6．ABC　[由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
故平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB.]
7．DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8．2
解析　如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC.
又CE 平面ABC，
所以DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
9．证明　方法一　∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图，
连接AD，SD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．
在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝a，BD＝＝a，
在Rt△ABD中，AD＝a.
在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，
∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
方法二　∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
∴SA＝AB＝AC，
∴过点A向平面SBC引垂线，
设垂足为D(图略)，则垂足D为△SBC的外心．
∵△SBC为直角三角形，
∴垂足D为斜边BC的中点，
∴AD 平面ABC，
又AD⊥平面SBC.∴平面ABC⊥平面SBC.
10．证明　(1)∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，
又△PAD为正三角形，
∴PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
11．C　[如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，
设A1A＝a，则AO＝a，
所以tan∠A1OA＝＝.]
12．A　[连接AB′，A′B(图略)，由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，
设AB＝2a，
则BB′＝2asin ＝a，
A′B＝2acos ＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.]
13．D　[∵AD与PB在平面ABCDEF内的射影AB不垂直，∴A不正确；
可证得平面PAB⊥平面PAE，
∴B不正确；
又BC∥AD，AD与平面PAE相交，∴C不正确；
∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AD＝2AB，
∴tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，∴D正确．]
14．①③④ ②(或②③④ ①)
解析　共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，则m∥β，又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，则m∥β，又因为n⊥β，则m⊥n，故命题正确．
15．B　[∵MP＝MC，
∴点M在PC的中垂面α上，
∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线．
∵四边形ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD＝CD.
取PC的中点N(图略)，
有DN⊥PC；
取AB的中点H，易知CH＝HP，
∴HN⊥PC.
又∵DN∩HN＝N，
∴PC⊥平面DHN，
∴平面DHN即为平面α.
又∵平面DHN∩平面ABCD＝HD，
∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是线段HD，
即点D与AB中点的连线段．]
16．(1)证明　取EF的中点N，连接MN，DN，MD(图略)．根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，
又M，N分别为AB，EF的中点，
∴MN⊥EF，MN＝2.
由题意得DN＝＝，又MD＝3，
∴MN2＋DN2＝22＋()2
＝9＝MD2，
∴MN⊥DN，
又∵EF∩DN＝N，EF，DN 平面CDEF，
∴MN⊥平面CDEF.
又MN 平面ABFE，
∴平面ABFE⊥平面CDEF.
(2)解　连接CE(图略)，
则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE.
由(1)知MN⊥平面CDEF，
又MN∥BF∥AE，
∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
∴BF⊥CF，又CF⊥EF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面ABFE，
∴CF⊥平面ABFE，
∴V四棱锥C－ABFE＝·S正方形ABFE·CF＝，
V三棱锥A－CDE＝·S△CDE·AE＝，
∴V六面体ABCDEF＝＋＝.