河北省唐山市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

唐山市2023—2024学年度高二年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A．1 B． C． D．5
3．记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．27 B．36 C．45 D．78
4．已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
6．线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．已知正三棱柱，若，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B．垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分．
9．已知直线与，则（ ）
A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则
C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等
10．数列满足：，，则（ ）
A． B．
C．为单调递减数列 D．为等差数列
11．已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ）
A．C的焦点到其渐近线的距离为
B．直线与的斜率之积为2
C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D．点P到两条渐近线的距离之积为
12．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）
A．四面体的体积是定值
B．直线与平面所成角的范围是
C．若P，Q分别是棱，的中点，则
D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等比数列的公比为q，且，，，则______．
14．已知，，且，则______．
15．直线l与圆相切，切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为______．（写出一个即可）
16．已知点在抛物线上，则______；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线与圆相交于A，B两点．
（1）若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离；
（2）求弦的长度．
18．（12分）
数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
数列满足，，．
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）若，求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，．
（1）证明：；
（2）设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？
22．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）．
（1）求的方程；
（2）记的面积为，的面积为，求的取值范围．
唐山市2023~2024学年度高二年级第一学期期末考试
数学参考答案
一．选择题：
1-4 ACDC 5-8 BDCB
二．选择题：
9．AC 10．ACD 11．AD 12．ABC
三．填空题：
13． 14．
15．（或；；）
16．2，（第一空2分，第二空3分）
四．解答题：
17．解：
（1）圆，圆心，半径， 2分
圆心到直线的距离， 4分
所以点P到直线l的最大距离为． 6分
（2），即， 8分
解得． 10分
18．解：
（1）因为，
所以， 2分
或，又因为，所以 4分
所以． 6分
（2），
则 8分
10分
． 12分
19．解：
（1）证明：如图，取的中点F，连结，．
因为E为的中点，
所以，． 2分
因为，，
所以，． 3分
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面． 5分
（2）取的中点O，的中点G，连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，
所以． 7分
如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
，则，，，，
，，， 8分
设平面的一个法向量为，
由得令，则 10分
设直线与平面所成角为，则
．
所以直线与平面所成角的正弦值为． 12分
20．解：
（1），． 2分
（2）因为，所以， 4分
又因为
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列． 6分
（3）由（2）可得， 8分
9分
，
当时，满足上式，所以． 10分
， 11分
所以
． 12分
21．解：
（1）证明：
因为，，，所以平面， 2分
又因为平面，所以． 4分
（2）如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，，，，，
，， 6分
由，
得， 7分
得，
设平面的法向量为．
由得
取， 9分
取平面的一个法向量为． 10分
设面与面夹角为，则
， 11分
即，解得． 12分
22．解：
（1）已知长轴长为4，则，解得， 1分
因为的离心率为，
所以，解得， 2分
所以， 3分
所以的方程为． 4分
（2），，，
①当l斜率不存在时，易知， 5分
②当l斜率存在时，显然斜率不为零，
设，，，
联立，得， 6分
显然，
所以，， 7分
， 8分
因为，
所以，
又，
设，则，，
解得且， 10分
所以，
因为当l斜率不存在时，．
所以的取值范围为． 12分