武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷
本试卷共6页,22题。满分150分。考试用时120分钟。
考试时间:2024年1月25日下午14:00—16:00
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和为,若,则( )
A. B. C. D.
3.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.九连环是中国传统民间智力玩具,以金属丝制成9个圆环,将圆环套装在横板或各式框架上,并贯以环柄。玩时,按照一定的程序反复操作,可使9个圆环分别解开,或合二为一。在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的最少移动次数,满足,且,则解下5个圆环所需的最少移动次数为( )
A.31 B.16 C.14 D.7
5.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点,,则下列结论中错误的是( )
A.的标准方程为 B.的离心率等于
C.与双曲线的渐近线不相同 D.直线与有且仅有一个公共点
6.已知数列的前项和为,且,设,若数列是递增数列,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,直线,分别于抛物线交于点,.设直线,的斜率分别为,,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,,若点满足,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的不得分)
9.椭圆的离心率为,若直线与椭圆的一个交点的横坐标,则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知等比数列的公比为,前项积为,若,,则( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线(如图),过抛物线焦点的直线自上而下,分别交抛物线和圆于,,,四点,则( )
A. B.
C.当直线的斜率为时, D.
12.已知数列,满足,,,,则下列选项正确的是( )
A. B.
C.为递增数列 D.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知等差数列前13项的和为26,则_________.
14.已知,是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为_________.
15.已知数列满足,,记数列的前项和为,则_________.
16.已知椭圆的左焦点为,过原点的直线交椭圆于,两点,点在第二象限,且(如图),则椭圆的离心率为_________.
四、解答题(本大题共6小题,第17题10分,第题每题12分,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题10分)
已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且,若,求正整数的最小值.
18.(本题12分)
已知双曲线的离心率为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若为坐标原点,直线交双曲线于,两点,求的面积.
19.(本题12分)
为了保证海上平台的生产安全,海事部门在某平台的正东方向设立了观测站,在平台的正北方向设立了观测站,它们到平台的距离分别为12海里和海里,记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线,规定曲线及其内部区域为安全预警区.
(1)如图,以为坐标原点,,为,轴的正方向,建立平面直角坐标系,求曲线的方程;
(2)海平面上有渔船从出发,沿方向直线行驶,为使渔船不进入预警区,求的取值范围.
20.(本题12分)
已知等比数列前四项和为30,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)在和之间插入1个数,使、、成等差数列;在和之间插入2个数、,使、、、成等差数列;;在和之间插入个数、、、,使、、、、、成等差数列.
①若,求;
②若,求.
21.(本题12分)
如图,已知点是焦点为的抛物线上一点,,是抛物线上异于的两点,且直线,的倾斜角互补,若直线的斜率为.
(1)求证:直线的斜率为定值;
(2)设焦点到直线的距离为,求的取值范围.
22.(本题12分)
已知椭圆的离心率为.直线经过点和椭圆的上顶点,其斜率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于、两点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.求证:当变化时,直线过定点.
武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷参考答案与评分细则
1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
9.AD 10.AC 11.ABD 12.ABC
13.6 14.7 15.56 16.
17.解:(1)设等差数列的公差为,
则,解得,,
故.
(2)由(1)可得,则,
所以,则数列是等差数列,
故.
因为,所以,所以,
所以或.
因为,所以的最小值是11.
18.(1)由题意得:,从而;,
所以双曲线的标准方程为.
(2)设,,联立方程组消去整理得,
则,,,
,
原点到直线的距离,
所以.
19.解:(1)根据已知条件设且,,
由,有,
,
,
,
整理有,
是以为圆心,8为半径的圆.
所以曲线的方程为:.
(2),过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直,
所以直线截距式方程为,
化为一般式方程为,
根据题意,且,解得,
所以综上可知的取值范围为.
20.(1)设的公比为,则:
则,所以.
(2)①在和之间插入个数、、、,
使、、、、、成等差数列,设其公差为,
此数列首项为,末项为,
则,,
则
②,
则,
则
故:.
21.(1)将点代入抛物线方程可得:,所以抛物线;
直线的斜率是定值,理由如下:
设,
与抛物线方程联立可得:,
,
因为直线,的倾斜角互补,用代可得:
因此,
即.
(2)由(1)可知,,,
因此,
到直线的距离,
由,得,
故.
22.解:(1)由题意得:,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设,,直线与椭圆联立:
化简整理:,
从而:,,同理:,
设所在的直线方程为:
则:
故:,过定点.