湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷
本试卷共6页，22题。满分150分。考试用时120分钟。
考试时间：2024年1月25日下午14:00—16:00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄。玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一。在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．31 B．16 C．14 D．7
5．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ）
A．的标准方程为 B．的离心率等于
C．与双曲线的渐近线不相同 D．直线与有且仅有一个公共点
6．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
9．椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ）
A． B．
C．当直线的斜率为时， D．
12．已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．为递增数列 D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列前13项的和为26，则_________．
14．已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________．
15．已知数列满足，，记数列的前项和为，则_________．
16．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为_________．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第题每题12分，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）
已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
18．（本题12分）
已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为坐标原点，直线交双曲线于，两点，求的面积．
19．（本题12分）
为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
（1）如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
20．（本题12分）
已知等比数列前四项和为30，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
21．（本题12分）
如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
22．（本题12分）
已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．
武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷参考答案与评分细则
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A
9．AD 10．AC 11．ABD 12．ABC
13．6 14．7 15．56 16．
17．解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
（2）由（1）可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
18．（1）由题意得：，从而；，
所以双曲线的标准方程为．
（2）设，，联立方程组消去整理得，
则，，，
，
原点到直线的距离，
所以．
19．解：（1）根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，
是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2），过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
20．（1）设的公比为，则：
则，所以．
（2）①在和之间插入个数、、、，
使、、、、、成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则
②，
则，
则
故：．
21．（1）将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线；
直线的斜率是定值，理由如下：
设，
与抛物线方程联立可得：，
，
因为直线，的倾斜角互补，用代可得：
因此，
即．
（2）由（1）可知，，，
因此，
到直线的距离，
由，得，
故．
22．解：（1）由题意得：，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线与椭圆联立：
化简整理：，
从而：，，同理：，
设所在的直线方程为：
则：
故：，过定点．