广东省梅州市梅江区东山中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含答案）

东山中学2024届高三第一学期期末考试数学试题
一、单项选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，则符合条件的集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．10
2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．命题：“”是命题“曲线表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
5．在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B． C．181 D．
6．已知函数（，且）恒过定点，且满足，其中，是正
实数，则的最小值是（ ）
A．16 B．6 C． D．
7．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C．若样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，
若，则总体方差
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有_________．（用数字作答）
14．已知，之间的一组数据如下表：
1 2 3 4 5
4.3 5.4 6.1 6.7 7.5
则回归直线必过的一个定点坐标是_________；已知线性回归方程中，每增加1个单位时平均的增加0.77，则当时，_________．
15．在数列中，，，则_________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，．若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是_________．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足数列为递增数列，求数列前项和．
18．如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，为与的交点，若，，，且．
（1）求的大小；
（2）求的面积．
19．如图所示，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上一点（点异于，）．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且二面角的余弦值为，求的值．
20．已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：；
（3）若函数无零点，求实数的取值范围．
21．已知椭圆，点，分别是椭圆与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
（2）若，求的面积；
（3）设直线与直线交于点，证明：，，三点共线．
22．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
（其中，）每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）．
（1）若，求，并根据全概率公式求；
（2）是否存在值，使得，请说明理由．
东山中学2024届高三第一学期期末数学试题答案
1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．A 7．B 8．D
9．AC 10．AD 11．ACD 12．BCD
13．108 14． 8.31 15． 16．
17．【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：或
当时，；
当时，．
综上，或．
（2）由（1）当数列为递增数列，则，
设，
．
18．【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
或，
当时，又，所以，与为钝角三角形不符合，舍去．
所以
（2）由（1）知，为等腰三角形，
，，
，，
由，
可得，；
法二：作于，则，
易知，，
所以，则，
则．
19．【详解】（1）为圆弧上一点，为圆直径，，
在圆柱中，平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，在平面内以过点且垂直于的直线为轴、建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，，，
所以，，，，即
设，由得：，
即，，，
设平面的一个法向量，
，令，得．
轴平面，
取平面的一个法向量，
解得：．
20．【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以在点处的切线的斜率为，
故在点处的切线方程为，即．
（2）依题意知，函数的定义域为，
，令，则，解得；
令，则，解得或；
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值为，
所以．
（3）依题意得，
，
当时，，在定义域上无零点；满足题意．
当时，，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值为，
因为无零点，所以，解得；
当时，因为，所以，即，
所以在定义域上无零点：满足题意．
综上所述，实数的取值范围．
21．【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）．
（2）的直线经过，则直线方程为：；，则椭圆的方程为：．
设，联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，，则，，故，，于是．依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：．
故．
（3）设，联立直线和椭圆方程：，得到，由，，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明，，三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，，于是上式变为：
．
由韦达定理，，于是，故，
命题得证．
22．解：【详解】（1）当时，，，，，
则，解得．
由题意，得，，．
由全概率公式，得
．
又，，所以．
（2）由，得．
假设存在，使．
将上述两式相乘，得，化简，得．
设，则．
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得．即不存在值，使得．