反比例函数的图象与性质
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文档简介
反比例函数的图象与性质
设计理念：
“动态生成”是新课程标准提倡的一个重要理念。教学不再是忠实地传递和接受知识的过程，而是课堂创生与开发的过程，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程。根据课程改革的具体目标，结合本班教学实际，注重开放与生成，注重知识的建构，改变传统教学过分注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，并关注学生的学习兴趣和经验，实施自主开放式教学，让学生积极主动参与学习活动，并引导学生在教学活动中，运用自主、合作、探究的方式经历知识的形成过程，感悟知识的生成、发展与变化，追求课堂活动的真实、高效。
教材分析：
“反比例函数的图象和性质”是华师大版实验教材八年级《数学》下册的一个内容，本节内容是第二课时。反比例函数的图象和性质是从学生生活周围熟悉的实例入手，使学生在丰富的现实情境中，将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中，提高学生的解题技能；通过学生的观察、操作、想象、交流等活动，使学生进一步了解在解一元二次方程时，只要题目、方程及解法正确，得出的根便是所列方程的根，但未必符合实际问题。更重要的是让学生通过观察、思考和亲自动手设计方案，提高学生对问题的分析能力，充分发挥学生的创造力，让学生真正经历模型化的过程。
学生分析：
学生在前面学习了一元二次方程的部分解法，对用配方法解一元二次方程已比较熟悉，在问题的解决过程中实现技能训练也有了一定的方式方法，并初步具备了合作交流、敢于探究与实践创新的良好习惯。敢说、敢想、敢创造，学生间互相交流，相互评价，相互补充的气氛比较浓。
教学目标 1.进一步巩固反比例函数的图象。
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
3.通过对图形性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力。
教学重点 通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质。
教学难点 从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质。
教学方法 教师引导学生类推归纳概括学习法。
教学过程
1. 创设问题情境，引入新课
（师）我们已经学习了反比例函数其中自变量和函数的取值有何限制？
（生）
（师）上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过观察图象总结出当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内。得到了反比例函数图象的位置取决于k的正负性。
我们知道在学习一次函数图象时，还研究了函数的增减性即当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，以及函数图像与x轴，y轴的交点坐标。本节课我们来研究一下反比例函数图象的其它性质。
2. 新课讲解
1．思考互动
（师）我校八年级学生计划到离校3km远的“西施故里”组织秋游活动，请你想一想：学生坐车的所需时间t(h)与平均速度v（km/h）之间有什么样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
（生）变量t与v之间的关系可以表示成： t=
（师）从解析式来看，v越大，t就越小；反之v越小，t就越大。
（师）我们来想一下它的函数图象分别位于哪几个象限呢？
（生）函数图象分别位于第一、三象限内。
（生）因为速度v必须大于0，所以函数图象只在第一象限。
（师）很好，在第一个象限内，随着v值的增大，t的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（生）从图象的变化趋势来看，当自变量v逐渐增大时，函数值t逐渐减小。
（师）很好，我们大家一起来想办法验证一下这个结果吧。
（生）我们可以在函数t=的图象上取两点v1=1时t1 =3;当v2=3时t2=1.自变量v的值在增大，但是函数t的值却在减小。
(师) 让我们一起来看看运动的图片来验证一下吧！
“Z+Z”图片展示
（师）我们得到了一个结论3：对于反比例函数，在第一象限里，x越大y越小。我们在来看一看，对于第三象限的图象，是否也存在这个性质呢？
（生）存在！
（师）很好，对于反比例函数我们还可以分别在每一个象限的图象上任意取两点A(x1 ,y1),B(x2, y2),当x2＞x1时y2－y1＝＝k·＜0,即y2＜y1.即y的值随着x值的增大而减小，同理也可以得到 y的值随着x值减小而增大。
（师）我们同样通过动画演示来验证这样一个性质：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小。
“Z+Z”图片展示
2．练一练：例1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),和C（3,y2）都在反比例函数y= 的图象上，比较y1,y2与y3的大小.
解：反比例函数y= 的函数图象位于第一，三象限
∴y1＜0,y2＜0 而y3 ＞0 又-2＜-1 ∴y1＞y2
即y3 ＞0＞y1＞y2
（师）想一想，当k＜0时，情况又是怎么样的呢？
（生）对于反比例函数，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
（师）通过动画演示来验证这个结论。
“Z+Z”图片展示
3．议一议
（师）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与ｙ轴相交吗 为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论。
（生)从关系式中看，因为x≠0,所以图象与y轴不可能有交点；又因为所以y≠0,图象与x 轴不可能有交点。
（师）很好，我们大家来一起观察一下反比例函数的图象在平面直角坐标系中无限延伸的状况。我们又得到一个结论就是：反比例函数图象与坐标轴无限接近但永不相交。
“Z+Z”图片展示
（师）我们得到如下结论：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。函数图象与坐标轴无限接近但永不相交。
4．想一想
（师）反比例函数的图象除了上面的性质，大家观察一下还有哪些性质呢？拿出你们准备好的函数图象，好好的观察一下。
学生观察讨论
（生）我发现反比例函数的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标原点。
（师）很好，我们也来看一看动画
“Z+Z”图片展示
（师）我们看到了反比例函数确实是关于坐标原点成中心对称的图形。还有别的发现吗？
（生）我通过对折函数图象发现，反比例函数是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是y=x, 另一条是y=－x.
（师）很好，我们也用动画来演示一下。
“Z+Z”图片展示
（师）总结一下就是：反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；它的对称中心是坐标原点，它的对称轴是y=±x。
我们再来想一想，k的取值对于双曲线的弯曲程度有没有影响呢？
（生）有！
（师）我们来看一看吧。
“Z+Z”图片展示
（师）我们发现了一个规律就是当k＞0时，k越小，双曲线就越弯；当k＜0时，k越大，双曲线越弯。那么我们用什么话来总结一下呢？
（生）当︱k︱越小时，双曲线就越弯。
（师）非常好。
5．想一想
出示题目（1）在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点P分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2, S1 与S2有什么关系？为什么？
（师）大家先讨论一下
“Z+Z”图片展示
（生）设P(x1 ,y1),过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1＝︱x1︱·︱y1︱＝︱x1y1︱
因为(x1 ,y1)在反比例函数上，所以y1＝，即x1y1＝k 所以S1＝︱k︱
同理可知S2＝︱k︱，所以S1 ＝S2.
（师）从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P、Q分别在不同的曲线上，情况又怎样呢？
（生）S1＝︱x1y1︱＝︱k︱，
S2＝︱x2y2︱＝︱k︱
（师）因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上。过P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1 ＝S2.
三．课堂练习
1．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 ；在其图象所在象限内，y的值随x值增大而增大的有
（1） （2） （3） （4）
2．函数y=kx-k与y＝(k≠0)在同一直角坐标系 中的图像可能是( )
A B C D
分析：从对函数y＝的讨论入手，若k>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A，
C两个答案，这时对于一次函数来说，y的值随x值的增大而减小，且一次函数的图象与y轴正半轴相交，显然A，C两个答案都不对.
若k＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B，D两个答案，对于一次函数来说，y的
值随x的增大而增大，且一次函数的图象与y轴的正半轴相交，应选B.
解：选B.
四．课时小节
本节课学习了如下内容.
1.反比例函数y＝的图象，当k＞0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k2.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐
标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
3反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；它的对称中心是坐标原点，它的对称轴是y=±x。
4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
5. 当︱k︱越小时，双曲线就越弯.
五．课后延伸
作业
课后记 函数是研究世界变化规律的重要数学模型，体会函数中的数形结合思想，学会用数学的眼光来看待现实问题！
设计理念：
“动态生成”是新课程标准提倡的一个重要理念。教学不再是忠实地传递和接受知识的过程，而是课堂创生与开发的过程，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程。根据课程改革的具体目标，结合本班教学实际，注重开放与生成，注重知识的建构，改变传统教学过分注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，并关注学生的学习兴趣和经验，实施自主开放式教学，让学生积极主动参与学习活动，并引导学生在教学活动中，运用自主、合作、探究的方式经历知识的形成过程，感悟知识的生成、发展与变化，追求课堂活动的真实、高效。
教材分析：
“反比例函数的图象和性质”是华师大版实验教材八年级《数学》下册的一个内容，本节内容是第二课时。反比例函数的图象和性质是从学生生活周围熟悉的实例入手，使学生在丰富的现实情境中，将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中，提高学生的解题技能；通过学生的观察、操作、想象、交流等活动，使学生进一步了解在解一元二次方程时，只要题目、方程及解法正确，得出的根便是所列方程的根，但未必符合实际问题。更重要的是让学生通过观察、思考和亲自动手设计方案，提高学生对问题的分析能力，充分发挥学生的创造力，让学生真正经历模型化的过程。
学生分析：
学生在前面学习了一元二次方程的部分解法，对用配方法解一元二次方程已比较熟悉，在问题的解决过程中实现技能训练也有了一定的方式方法，并初步具备了合作交流、敢于探究与实践创新的良好习惯。敢说、敢想、敢创造，学生间互相交流，相互评价，相互补充的气氛比较浓。
教学目标 1.进一步巩固反比例函数的图象。
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
3.通过对图形性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力。
教学重点 通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质。
教学难点 从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质。
教学方法 教师引导学生类推归纳概括学习法。
教学过程
1. 创设问题情境，引入新课
（师）我们已经学习了反比例函数其中自变量和函数的取值有何限制？
（生）
（师）上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过观察图象总结出当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内。得到了反比例函数图象的位置取决于k的正负性。
我们知道在学习一次函数图象时，还研究了函数的增减性即当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，以及函数图像与x轴，y轴的交点坐标。本节课我们来研究一下反比例函数图象的其它性质。
2. 新课讲解
1．思考互动
（师）我校八年级学生计划到离校3km远的“西施故里”组织秋游活动，请你想一想：学生坐车的所需时间t(h)与平均速度v（km/h）之间有什么样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
（生）变量t与v之间的关系可以表示成： t=
（师）从解析式来看，v越大，t就越小；反之v越小，t就越大。
（师）我们来想一下它的函数图象分别位于哪几个象限呢？
（生）函数图象分别位于第一、三象限内。
（生）因为速度v必须大于0，所以函数图象只在第一象限。
（师）很好，在第一个象限内，随着v值的增大，t的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（生）从图象的变化趋势来看，当自变量v逐渐增大时，函数值t逐渐减小。
（师）很好，我们大家一起来想办法验证一下这个结果吧。
（生）我们可以在函数t=的图象上取两点v1=1时t1 =3;当v2=3时t2=1.自变量v的值在增大，但是函数t的值却在减小。
(师) 让我们一起来看看运动的图片来验证一下吧！
“Z+Z”图片展示
（师）我们得到了一个结论3：对于反比例函数，在第一象限里，x越大y越小。我们在来看一看，对于第三象限的图象，是否也存在这个性质呢？
（生）存在！
（师）很好，对于反比例函数我们还可以分别在每一个象限的图象上任意取两点A(x1 ,y1),B(x2, y2),当x2＞x1时y2－y1＝＝k·＜0,即y2＜y1.即y的值随着x值的增大而减小，同理也可以得到 y的值随着x值减小而增大。
（师）我们同样通过动画演示来验证这样一个性质：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小。
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2．练一练：例1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),和C（3,y2）都在反比例函数y= 的图象上，比较y1,y2与y3的大小.
解：反比例函数y= 的函数图象位于第一，三象限
∴y1＜0,y2＜0 而y3 ＞0 又-2＜-1 ∴y1＞y2
即y3 ＞0＞y1＞y2
（师）想一想，当k＜0时，情况又是怎么样的呢？
（生）对于反比例函数，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
（师）通过动画演示来验证这个结论。
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3．议一议
（师）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与ｙ轴相交吗 为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论。
（生)从关系式中看，因为x≠0,所以图象与y轴不可能有交点；又因为所以y≠0,图象与x 轴不可能有交点。
（师）很好，我们大家来一起观察一下反比例函数的图象在平面直角坐标系中无限延伸的状况。我们又得到一个结论就是：反比例函数图象与坐标轴无限接近但永不相交。
“Z+Z”图片展示
（师）我们得到如下结论：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。函数图象与坐标轴无限接近但永不相交。
4．想一想
（师）反比例函数的图象除了上面的性质，大家观察一下还有哪些性质呢？拿出你们准备好的函数图象，好好的观察一下。
学生观察讨论
（生）我发现反比例函数的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标原点。
（师）很好，我们也来看一看动画
“Z+Z”图片展示
（师）我们看到了反比例函数确实是关于坐标原点成中心对称的图形。还有别的发现吗？
（生）我通过对折函数图象发现，反比例函数是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是y=x, 另一条是y=－x.
（师）很好，我们也用动画来演示一下。
“Z+Z”图片展示
（师）总结一下就是：反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；它的对称中心是坐标原点，它的对称轴是y=±x。
我们再来想一想，k的取值对于双曲线的弯曲程度有没有影响呢？
（生）有！
（师）我们来看一看吧。
“Z+Z”图片展示
（师）我们发现了一个规律就是当k＞0时，k越小，双曲线就越弯；当k＜0时，k越大，双曲线越弯。那么我们用什么话来总结一下呢？
（生）当︱k︱越小时，双曲线就越弯。
（师）非常好。
5．想一想
出示题目（1）在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点P分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2, S1 与S2有什么关系？为什么？
（师）大家先讨论一下
“Z+Z”图片展示
（生）设P(x1 ,y1),过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1＝︱x1︱·︱y1︱＝︱x1y1︱
因为(x1 ,y1)在反比例函数上，所以y1＝，即x1y1＝k 所以S1＝︱k︱
同理可知S2＝︱k︱，所以S1 ＝S2.
（师）从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P、Q分别在不同的曲线上，情况又怎样呢？
（生）S1＝︱x1y1︱＝︱k︱，
S2＝︱x2y2︱＝︱k︱
（师）因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上。过P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1 ＝S2.
三．课堂练习
1．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 ；在其图象所在象限内，y的值随x值增大而增大的有
（1） （2） （3） （4）
2．函数y=kx-k与y＝(k≠0)在同一直角坐标系 中的图像可能是( )
A B C D
分析：从对函数y＝的讨论入手，若k>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A，
C两个答案，这时对于一次函数来说，y的值随x值的增大而减小，且一次函数的图象与y轴正半轴相交，显然A，C两个答案都不对.
若k＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B，D两个答案，对于一次函数来说，y的
值随x的增大而增大，且一次函数的图象与y轴的正半轴相交，应选B.
解：选B.
四．课时小节
本节课学习了如下内容.
1.反比例函数y＝的图象，当k＞0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k
标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
3反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；它的对称中心是坐标原点，它的对称轴是y=±x。
4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
5. 当︱k︱越小时，双曲线就越弯.
五．课后延伸
作业
课后记 函数是研究世界变化规律的重要数学模型，体会函数中的数形结合思想，学会用数学的眼光来看待现实问题！